2.3.2. Обратная геодезическая задача

Обратная геодезическая задача заключается в том, что при известных координатах точек А( X_A, Y_A ) и В( X_B, Y_B ) необходимо найти длину S_AB и направление линии АВ: румб r_AB и дирекционный угол α_AB (рис.24).

Рис. 24. Обратная геодезическая задача

Даннная задача решается следующим образом.

Сначала находим приращения координат:

ΔX = X_B – X_A ;

ΔY = Y_B – Y_A .

Величину угла r_AB определем из отношения

ΔY	= tg rAB
ΔX

.

По знакам приращений координат вычисляют четверть, в которой располагается румб, и его название. Используя зависимость между дирекционными углами и румбами, находим α_AB.

Для контроля расстояние S_AB дважды вычисляют по формулам:

SAB= ΔX = ΔY = ΔX · sec αAB = ΔY · cosec αAB cos αAB sin αAB SAB=	ΔX	=	ΔY	= ΔX · sec rAB = ΔY · cosec rAB
	cos rAB		sin rAB

Расстояние S_AB можно определить также по формуле

.

2.4. Связь между дирекционными углами предыдущей и последующей линий

На рис. 25 представлена схема определения дирекционных углов сторон теодолитного хода AB. Известен дирекционный угол исходной стороны α₀ и измерены геодезическим прибором теодолитом углы β₁, β₂, β₃, лежащие справа по ходу от А к В.

Рис. 25. Схема определения дирекционных углов сторон теодолитного хода

Найдём дирекционные углы α₁, α₂, α₃ остальных сторон хода.

На основании зависимости между прямыми и обратными дирекционными углами можем написать:

α₁ + β₁ = α₀ + 180° из данного выражения следует, что α₁ = α₀ + 180° – β₁ (1).

Аналогично вычисляются дирекционные углы последующих сторон теодолитного хода:

α₂ + β₂ = α₁ + 180° → α₂ = α₁ + 180° – β₂ (2)

α₃ + β₃ = α₂ + 180° → α₃ = α₂ + 180° – β₃ (3)

...............................................................................

α_n + β_n = α_n-1 + 180° → α_n = α_n-1 + 180° – β_n (n)

То есть, дирекционный угол последующей стороны равен дирекционному углу предыдущей стороны плюс 180° и минус угол, лежащий справа по ходу.

Для получения контрольной формулы в выражение (2) подставим значение α₁, из выражения (1)

α₂ = α₀ + 2 ∙ 180° – (β₁ + β₂) .

Если продолжить аналогичные действия для последующих сторон теодолитного хода, то получим

α_n = α₀ + n ∙ 180° – (β₁ + β₂ + β₃ + ... + β_n) .

или

α_n – α₀ = n ∙ 180° – ∑β .

или

α₀ – α_n = ∑β – n ∙ 180° .

Эта формула может служить контрольной при вычислении дирекционных углов по увязанным углам β.

Если же вместо суммы исправленных углов подставить сумму измеренных углов ∑β, то та же формула позволит определить невязку f_β измеренных углов теодолитного хода, если дирекционные углы α₀ и α_n начальной и конечной сторон хода известны

f_β = ∑β – n ∙ 180° – (α₀ – α_n).

Иногда дирекционные углы вычисляют по углам, лежащим слева по ходу от А до В (λ₁, λ₂, …, λ_n).

β₁ = 360° – λ₁

β₂ = 360° – λ₂

........................

β_n = 360° – λ_n

Подставим эти значения в выражения (1), (2), ..., (n) получим

α₁ = α₀ – 180° + λ₁

α₂ = α₁ – 180° + λ₂

.................................

α_n = α_n-1 – 180° + λ_n .

Для проверки правильности вычисления дирекционных углов по углам λ, лежащим слева по ходу, используют выражения

α_n – α₀ = ∑λ – n ∙ 180°

или

α_n – α₀ = ∑λ + n ∙ 180°.

Тогда невязка f_β определяется по формуле

f_β = ∑λ + n ∙ 180° – (α_n – α₀).