3. Вопросы к практическому занятию

9.1 Дайте определение процентной ставки.

9.2. Что называется периодом начисления?

9.3. Какие процентные ставки называются простыми?

9.4. Что такое наращенная сумма FV?

9.5. В чем разница декурсивного и антисипативного способов начисления процентов?

9.6. Укажите принцип эквивалентности ставок.

9.7. Дайте определение процессам компаундинга и дисконти­рования.

9.8. Что показывает дисконтный множитель?

9.9. В чем заключается разница точных и обыкновенных прос­тых процентов?

9.10. Что такое аннуитет?

9.11. Дайте сравнительную характеристику простых и сложных процентов.

9.12. Что такое, и какими показателями характеризуется инфляция?

9.13. Как в финансовых расчетах учитывается инфляция?

9.14. Что такое процентный доход при начислении простых процентов?

9.15. Дайте определение наращенной суммы по простым про­центов,

9.16. Укажите виды временных баз.

9.17. Дайте определение дисконтирования по простой ставке простых процентов.

9.18. Как характеризуется колеблемость процентных ставок по срокам долга?

9.19. Дайте определение ставок, учитывающих инфляцию.

9.20. Раскройте особенности применения простой учетной став­ки в банковских операциях.

9.21. В чем состоит дисконтирование векселей?

9.22. Укажите эффективную ставку простых процентов.

9.23. В чем состоит доход и доходность купли-продажи финан­совых инструментов.

4. Литература

[17-19].

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 10

Прямые и обратные функции сложных процентов денег

1. Теоретическая часть

Для определения сто­имости, которую будет иметь капитал через несколько лет (FV) при использовании процедуры сложных процентов, применяют формулу, отражающую процесс аккумулирования (компаундинга), наращивания средств в соответствии с геометрической прог­рессией:

FV=PV·(1+i)ⁿ, (10.1)

где FV - аккумулированная (будущая) сумма капитала;

PV - текущая стоимость (стоимость инвестиций в начальный период);

i - ставка процента (например, i = 0,10, т. е. 10%);

п — количество периодов начисления.

Формула (10.1) в практике финансовых расчетов определяет первую функцию сложного процента, а выражение (1+i)» называ­ется множителем (коэффициентом) наращения, или будущей стоимостью единицы аккумулированного капитала (F₁):

F₁=(1+i)ⁿ, (10.2)

где F₁ – множитель наращения рассчитывается или определяется по табли­це Инвуда — сложных процентов.

В практике финансовых операций аккумулирование часто происходит так, что при четко установленной годовой ставке пе­риод начисления может быть полугодие, квартал, месяц, неделя, день. Поэтому при распространенном в мировой и отечествен­ной практике декурсивном способе расчета сложных процентов (в конце каждого периода) будущая стоимость капитала опреде­лится так:

(10.3)

где т - число начислений процентов в году;

т·п - общее число периодов начисления;

п - продолжительность ссуды (кредита) в годах;

i - годовая (номинальная ставка).

Таким образом, можно еще раз подчеркнуть, что, сравнивая уравнения (10.2) и (10.3) и исходя из принципа эквивалентности ставок, годовую ставку сложных процентов (эквивалентную но­минальной процентной ставке) называемую еще эффективной ставкой сложного процента, можно определить из соотношения:

(10.4)

отсюда:

т.е. , или (10.5)

В общем случае релятивную (относительную) ставку опреде­лить можно по формуле

/_П = i· d_H/ 365, или i_П= I · d_ti / 366,

где d – количество дней, за которое рассчитывается ставка.

Иногда сумма FV рассчитывается так:

(10.7)

где — количество периодов начисления процентов;

n – число периодов начисления, n = 4;

М — длительность начисления;

М_Г — количество месяцев , М_Г =12.

В практике финансовых вычислений расчет наращенной сум­мы комбинируют: наращенную сумму для целого числа периодов находят по принципу сложных процентов, а для дробного числа — по принципу простых процентов, т. е.

FV= PV · (1 + I / т)^m·n · (1 + · I / т). (10.8)

Для определения числа периодов начисления, за которые первоначальная сумма удвоится, применяется правило 72-х.

Правило 72-х служит для расчета примерного числа перио­дов, за которые вложенная первоначальная сумма увеличится вдвое при заданной ставке процента, т. е.

N=72/i, (10.9)

где i — периодическая ставка сложных процентов.

Это правило дает удовлетворительные результаты при значе­нии периодической ставки от 3 до 18%.

Наращенная сумма ренты (n-периодного аннуитета) пред­ставляет собой сумму всех членов ренты с начисленными на них процентами к концу ее срока.

Нужно подчеркнуть, что аннуитет называется обычным, если платежи осуществляются в конце каждого периода (рента пост-нумерандо), и авансовым, если платежи осуществляются в начале каждого периода (рента пренумерандо).

Рассмотрим такой пример. Предположим, платежи в размере 1 руб. вносятся ежегодно в конце года в течение п лет. Первый платеж принесет проценты n — 1 раз до конца срока ренты, вто­рой — п-2 раза и т.д., предпоследний платеж - 1 раз. На послед­ний платеж проценты начислены не будут, так как он поступит в конце срока ренты.

Коэффициент наращения 1-го члена ренты будет равен (1 + i)^n-1 , 2-го-(1 +i)^n-2, 3-го-(1 +i)^n-3ит.д., предпоследнего — (1 + i) и последнего — 0.

Если представить этот ряд в обратной последовательности, то он будет иметь вид геометрической прогрессии, 1 -й член которой равен 1, а знаменатель — (1 + i).

Тогда сумма членов этой профессии (наращенная сумма рен­ты n-периодиого аннуитета) будет равна:

(10.10)

где (1+i)ⁿ-1/i=F₂ - коэффициент наращения – 2-я функция сложного процента денег.

когда начисляются проценты несколько раз в году, наращенная сумма m-срочной ренты (аннуитета) определя­ется по формуле (при известном размере платежа РМТ):

(10.11)

В отличие от обычного аннуитета, при авансовом аннуитете (пренумерандо) 1-й платеж осуществляется в начале первого пе­риода, т. е. он приносит доход в течение всех n-периодов.

Каждый последующий платеж работает на один период мень­ше, чем предыдущий, наконец последний платеж приносит доход в течение только одного периода. Как и в случае обычного анну­итета, будущие стоимости каждого платежа образуют геометри­ческую прогрессию со знаменателем (1 + i), a 1-й член этой прог­рессии РМТ· (1 + i).

Используя формулу расчета суммы и членов геометрической профессии, получим:

(10.12)

В этом случае фактор фонда накопления — будущая стои­мость авансового аннуитета с платежом в одну денежную едини­цу — будет равен:

(10.13)

Текущая стоимость может быть обычного аннуитета или авансового и-периодного аннуитета

Пользуясь известной формулой суммы членов геометрической прогрессии, получим уравнение:

, (10.14)

где - текущая стоимость обычного аннуитета F₅ - пятая функция сложного процента (текущая стоимость обычного аннуитета единицы).

Тогда текущая стоимость авансового аннуитета будет равна:

. (10.15)

Если PMT=1, то получим выражение для фактора текущей стоимости авансового аннуитета :

.

Эти функции (F₅ и ) имеют особое значение в оценки инвестиционных проектов, в оценке имущества, приносящего доход.

Определим размер платежа РМТ:

(10.16)

где i/(1+i)n-1=F₃ фактор фонда возмещения — 3-я функция сложного процента денег.

Можно сравнить фактор фонда накопления F₂ и фактор фон­да возмещения F₃. Видно, что функция F₃ при фиксированных n и i есть величина, обратная фактору фонда накопления F₂, т. е.

Аналогично получим формулу авансового фонда возмещения и соответствующего фактора

отсюда

(10.17)

где I / (1+i) ⁿ⁺¹ – 1 – I = F₃ – фактор авансового фонда возмещения.

Сравнив фактор фонда накопления (будущую стоимость авансового аннуитета с платежом в одну единицу) и фактор аван­сового фонда возмещения, получим соотношение

(10.18)

Обратим внимание, что платежи состоят из возвратной сум­мы основного долга (PRN) и процентов (дохода банка I_пt ), кото­рые погашаются в конце года в течение 3 лет, а основной долг бу­дет выплачен по окончании срока кредита, т. е. размер платежа РМТ структурно имеет вид:

(10.19)

РМТ=PRN + I_nt,

где PRN — выплата основного долга;

I_nt — процентный платеж;

РМТ — общий периодический платеж

Если формулу (3.1) применить для определения текущей сто­имости денег (инвестиций) — PV, то будем иметь

PV=FV/(1+i)ⁿ, (10.20)

где 1/(1 +i)ⁿ = F₄ — текущая стоимость будущей единицы — 4-я функция сложного процента.

Сравнивая полученную формулу с формулой фактора 1-й функции заключаем, что текущая стоимость единицы есть величи­на, обратная аккумулированной (накопленной) единице, т.е.

(дисконтный множитель).

Нужно подчеркнуть, что при банковском (коммерческом) учете по сложным учетным ставкам применяется такая формула:

PV=FV-(l-d)ⁿ, (10.21)

где FV — сумма будущего платежа, на которую начисляется процентная

ставка (сумма должна быть уплачена, например, по векселю);

(1 - d) — дисконтный множитель сложной учетной ставки;

d — учетная ставка.

Сумма дисконта (D₄) при банковском учете по сложному про­центу определяется по формуле

D₄= FV- PV= FV- FV · (1 – d)ⁿ,

отсюда

D₄=FV∙[1 – (1-d)ⁿ]. (10.22)

В случае когда проценты начисляются в течение года т раз, определение современной величины платежа производится так:

(10.23)

где i₄ - номинальная учетная ставка.

i = d I (1 — n • d), или d = i (1 + n ∙ i). (10.24)

Эти формулы позволяют, например, определить процентную ставку i по известной учетной d ставке и наоборот.

Ставка сложных процентов i_П, эквивалентная ставке простых процентов i_П определяется так:

(10.25)

При выполнении финансовых расчетов по оценке инвести­ций, например в машины и технологическое оборудование, текущая стоимость может определяться методом прямой капитализа­ции. В данном случае стоимость будущих доходов и расходов напрямую трансформируется (без учета периода времени и дина­мики платежей) в текущую стоимость, т.е.

или (10.26)

где PV - общие вложения в объект;

PV_об — текущая стоимость объекта;

PV_М - инвестиции текущие (необходимые для модернизации объекта);

D — доходы от использования объекта;

Р — сумма расходов, связанных с реализацией инвестиционного про­екта (использования объекта);

i — ставка окупаемости инвестиций, %.

Величина будущей стоимости (FV) корректируется на размер налога на прибыль, так как в данном случае чистый доход может рассматриваться как возможная прибыль, т. е.

(10.27)

FV=(D-P) ∙ (100 - )/100

где - ставка налога на прибыль, %.

Расходы определяются так:

(10.28)

где а₁, а₂ — соответственно размер амортизации и ставка налога на основ­ные фонды (берутся в процентах от стоимости объекта РV_о6);

З_Т — затраты на восстановление (ремонт) объекта.

Таким образом, текущая стоимость объекта методом прямой капитализации определяется по формуле

(10.29)

Поставим обратную задачу: по известной текущей стоимости (размеру кредита) определить размер платежей, т. е.

(10.30)

и

Для PV= 1 получим значение взноса на амортизацию едини­цы. Это и есть 6-я функция сложного процента.

Для обычных взносов — рента постнумерандо 6-я функция имеет вид:

Нужно подчеркнуть, что в рентах постнумерандо коэффици­ент наращения последнего платежа равен 1.

Для авансовых взносов (рента пренумерандо) 6-я функция имеет вид:

Каждый равновеликий взнос (РМТ) на амортизацию капита­ла включает в себя процент (/_nt) — отдачу от инвестиций и сумму в уплату первоначальной суммы (PRN) — возврат инвестирован­ной суммы

PMT=PRN + /_nt. (10.31)

Функция F₆ как обратная величина функции F₅ я-периодного аннуитета часто называется ипотечной постоянной и обозначается через R_m) т. е.

Нужно подчеркнуть, что функция F₃ — фактор фонда возме­щения, связана с функцией F₆ - ипотечной постоянной следую­щим образом:

F₆ = F₃ + i, (10.32)

т. е. взнос на амортизацию 1 ден. ед. равен сумме фактора фонда возмещения и ставке процента.

Для n-периодного обычного фонда возмещения F₆ равно:

(4.18)

Из определения ипотечной постоян­ной — 6-й функции сложного процента — имеем:

(10.33)

или ,

где PV - стоимость арендованного имущества (сумма амортизации — ос­новного долга);

i - лизинговый процент;

n - срок контракта (аренды);

РМТ - сумма арендного платежа;

R_m — ипотечная постоянная (коэффициент приведения ренты) — 6-я функция сложного процента.

При заключении лизинговых договоров полная амортизация стоимости арендованного имущества определяется законода­тельством, действующим в стране.

В случае, когда нет полной амортизации стоимости оборудо­вания, сумму лизингового платежа корректируют на процент ос­таточной стоимости. Для этого в расчетах используется формула корректировочного множителя (К_м):

(10.34)

где i — лизинговый процент;

j — процент остаточной стоимости (обычно принимают 10%);

т — платежи вносятся т раз в течение года.

Для определения размера арендного платежа (РМТ) вос­пользуемся 6-й функцией сложного процента — ипотечной по­стоянной с учетом корректировочного множителя на процент остаточной стоимости (К_т), т. е.

PMT=PV∙F₆∙K_m. (10.35)

В финансовых расчетах для оценки экономической эффек­тивности конкретной лизинговой операции применяется нес­колько вариантов. При подготовке экономического обоснования рекомендуется расчет ставки финансирования (для сравнения финансовой эффективности лизинга с закупкой этого же обору­дования в кредит) выполнять по формуле

(10.36)

где /_с — ставка финансирования лизинга;

РМТ — лизинговые платежи;

PRN — ежегодная амортизация оборудования;

PV — первоначальная стоимость сдаваемого в лизинг оборудования;

PV_ocт -- остаточная стоимость на момент окончания срока лизинга, по которой оборудование будет выкуплено лизингодателем в свою собственность.

При решении проблемы по выбору типа инвестирования -кредит или лизинг, лизинг оборудования имеет смысл, если в рамках рассматриваемых проектов выполняется условие

(10.37)

где - чистая текущая стоимость платежей в случае лизинга имущест­ва (после налогообложения);

NPV_K - чистая текущая стоимость доходов в случае покупки оборудо­вания за счет кредита.

Это условие может быть реализовано при следующем соотно­шении:

(10.38)

где - отношение суммы платежей при лизинге к ипотечной постоянной аренды (F₆);

- отношение суммы платежей при обслуживании кредита к ипотечной постоянной кредита (F₆).