6.2. Аналітичне вирівнювання рядів динаміки експорту та імпорту товарів

Тенденція – це основний напрямок розвитку, що складається у рядах динаміки під стійкою дією зовнішніх причин і зберігається на протязі певного часу. На поверхні явищ складається враження, що рівень ряду динаміки змінюється в залежності від плину часу. Час (t) умовно розглядають як фактор, під дією якого збільшується чи зменшується рівень динамічного ряду:

, (6.14)

де – теоретичні рівні ряду, розраховані за трендовим рівнянням

Параметри трендового рівняння розраховують із системи нормальних рівнянь, одержаних за методом найменших квадратів. Система нормальних рівнянь для випадку лінійного тренду: _t = a + bt, має вид:

n a + bt = У

a t+ bt² = Уt, (6.15)

де t = 0, 1, 2, . . . . n – значення змінної часу;

n – кількість рівнів досліджуваного динамічного ряду;

a та b – невідомі параметри трендового рівняння;

У – показники експорту (імпорту) у досліджуваному динамічному ряді.

Якщо число рівнів ряду динаміки непарне, то центральний рівень ряду приймають за базисний. Відлік часу переносять у середину ряду: t_{cерединне} = 0; тоді у минуле йдуть від’ємні, а у майбутнє – додатні ранги, і  t = 0,

В такому випадку параметри можна знайти за формулами, (увага! Формули використовуються тільки якщо  t = 0):

, , (6.16; 6.17)

Етапи аналітичного вирівнювання:

1. Побудова емпіричного ряду динаміки із фактичних рівнів (У_і).

2. Перевірка його на наявність тенденції, наприклад за критерієм Кокса-Стюарта.

3. Вибір аналітичної форми вираження зв’язку рівнів ряду з фактором часу (функції для апроксимації тенденції).

4. Розрахунок параметрів трендового рівняння: a - ?; b - ?

Для цього знаходимо:  t;  У; Уt;  t²

Якщо значення змінної часу t позначено порядковими рангами, то можна скористатися формулами:

 t = (1 + n)n/2; або  t = t ₁ + t ₂ + t ₃ + … + t _n; (6.18)

 t² = ; (6.19)

У будь-якому випадку:

У = У₁ + У₂ + У₃ + … + У_n; (6.20)

Yt = Y₁ t₁ + Y₂ t₂ + …+ Y_n t_n; (6.21)

Якщо значення змінної часу t позначено центрованими рангами, то можна скористатися формулою:

 t² = 1/12 n (n² – 1); (6.22)

Можна, також, знайти квадрати всіх рангів часу і додати їх для одержання  t² ;

Приклад позначення періодів часу: t₁ t₂ t₃ t₄ t₅

порядковими рангами t_і = 1 2 3 4 5

центрованими рангами t_і = -2 -1 0 1 2

Економічний зміст параметрів прямої, що апроксимує тенденцію: параметр а показує теоретичне (апроксимоване значення) рівня ряду в нульовому періоді часу; параметр b показує середній абсолютний приріст (+), або зменшення (-) рівнів динамічного ряду за одиницю часу.

5. Перевірка тісноти та істотності зв’язку.

Для перевірки тісноти зв’язку, як правило, застосовують теоретичний коефіцієнт детермінації:

, (6.23)

де σ² - загальна дисперсія рівнів динамічного ряду;

σ²_ŷ – дисперсія теоретичних значень рівнів ряду;

σ²_е – залишкова дисперсія (σ²_е= );

та теоретичне кореляційне відношення R = .

Оскільки R = ; то R² = (r)² у випадку лінійного тренду:

, якщо , (6.24; 6.25; 6.26)

де r – це лінійний коефіцієнт кореляції.

Для оцінки істотності зв’язку можна використати таблиці критичних значень коефіцієнта детермінації R², або розрахувати F – критерій Фішера:

F _{розрахунковий}. = , (6.27)

де k₁ – число ступенів вільності для дисперсії теоретичних значень ,

k₁ = m – 1, а m – число параметрів у трендовому рівнянні (звичайно m = 2, для параболи m = 3),

k₂ – число ступенів вільності для залишкової дисперсії σ²_е, k₂ = n – m,

n – число рівнів ряду динаміки.

Якщо F_розрах. F_{табличне}, то зв’язок визнається істотним (невипадковим).

6. Якщо аналіз динамічного ряду експорту чи імпорту певного товару (послуги) свідчить про наявність в динамічному ряду тенденції розвитку, що склалася протягом 5-6 років, то апроксимація тенденції та екстраполяція тренду на майбутній рік дозволяє одержати прогноз обсягів експорту чи імпорту відповідного товару. Це можливо лише за умови, що зв’язок варіації рівнів ряду (Y)_і зі змінною часу t_і визнано за істотний. При цьому значення рівня динамічного ряду, що прогнозуються на майбутнє ( _t) одержують із рівняння тренду, в якому фактор часу для прогнозного періоду враховують ранжованим за прийнятою для попередніх розрахунків системою, продовжуючи динамічний ряд у майбутнє.

7. Якість прогнозу оцінюють за відносною помилкою апроксимації, яка не повинна перевищувати 15%, у крайньому випадку допустимим значенням вважається = 30%

, (6.28)

6. Довірчі межі прогнозного інтервалу встановлюють з допомогою середньоквадратичної похибки прогнозу.

, (6.29)

де v – період упередження прогнозу.

Для збільшення ймовірності потрапляння прогнозованого значення рівня динамічного ряду до побудованих довірчих меж, визначають граничну помилку прогнозу: Δ_е =±t·S_e , (6.30)

де t – коефіцієнт довіри, який знаходять за таблицями t - критерію Ст’юдента при заданому рівні істотності α, або умовно беруть t = 2, для α = 0,05.

Бажано проводити перевірку рядів на наявність автокореляції.

Автокореляція – це залежність між сусідніми значеннями рівнів часового ряду, вона робить невірними загальні оцінки, тому в часових рядах її вплив виключають шляхом, наприклад, корелювання різниць рівнів ряду.

Наявність автокореляції перевіряють за критерієм Дарбіна-Уотсона

, (6.31)

де l_i = y_i – , (6.32)

Значення Д коливається від 0 до 4.

Якщо Д  2 – автокореляція відсутня

Д наближається до 0 – є додатна автокореляція

Д наближається до 4 – є від’ємна автокореляція.

Наявність автокореляції робить прогнози ненадійними.