Розв’язання типового практичного завдання.
Відомі умовні дані про обсяги експорту із країни (табл. 6.3):
Таблиця 6.3. Обсяги експорту умовного товару із країни за 2001 – 2006 рр.
Рік |
2001 |
2002 |
2003 |
2004 |
2005 |
2006 |
Ранг року (t) |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
Експорт, (У) тис. дол. |
230,0 |
238,0 |
252,0 |
245,0 |
273,0 |
269,0 |
Необхідно за допомогою аналітичного вирівнювання визначити прогнозовану експортну можливість країни на 2007 рік, обчислити критерій Фішера, відносну помилку апроксимації, граничну помилку моделі для рівня істотності = 0,05. Зробити висновки.
ЕТАПИ РОБОТИ:
1. Перевіряємо динамічний ряд на наявність тенденції за критерієм Кокса-Стюарта.
2
30;
238; 252; 245; 273; 269;
І третина ІІІ третина
Порівнюємо відповідні рівні ряду третьої та першої третин:
273 230 “+” 2 “+”
269 238 “+” 0 “–”
Оскільки обидва рівні третьої третини більші від відповідних рівнів першої третини, то, при порівнянні їх шляхом віднімання, накопичуються «плюси» (тобто, маємо показники абсолютного приросту кінця ряду порівняно з його початком). В такому випадку вважається, що є тенденція до зростання ряду.
2. Позначимо фактор часу “t” і ранжуємо роки від 1 до n:
1; 2; 3; 4; 5; 6 (таб. 6.1).
3. Побудуємо кореляційне поле для візуального підбору форми аналітичного вираження зв’язку рівнів ряду з фактором «часу»:
Рис.6.1. Кореляційне поле емпіричних значень досліджуваного динамічного ряду експорту умовного товару із країни за 2001 – 2006 рр.
На кореляційному полі видно, що емпіричні рівні ряду варіюють навколо уявної прямої. Отже тенденція може бути апроксимована за прямою виду:
4. Обчислимо параметри а та b із системи нормальних рівнянь одержаних за методом найменших квадратів:
Таблиця 6.4. Допоміжна розрахункова таблиця.
Рік |
Час, tі |
Експорт уі |
t2 |
yt |
y2 |
|
|
|
2001 |
1 |
230 |
1 |
230 |
52900 |
230,2 |
0,09 |
0,04 |
2002 |
2 |
238 |
4 |
476 |
56644 |
238,6 |
0,25 |
0,36 |
2003 |
3 |
252 |
9 |
756 |
63504 |
246,9 |
2,02 |
26,01 |
2004 |
4 |
245 |
16 |
980 |
60025 |
255,3 |
4,20 |
106,09 |
2005 |
5 |
273 |
25 |
1365 |
74529 |
263,7 |
3,41 |
86,49 |
2006 |
6 |
269 |
36 |
1614 |
72361 |
272,1 |
1,15 |
9,61 |
Сума |
21 |
1507 |
91 |
5421 |
379963 |
1507,0 |
11,12 |
228,60 |
↓
+
–5b = – 41,9
b = 8,38
a = 221,8
Щорічно оборот з експорту в середньому зростає на 8,38 тис. дол. США. А теоретичні (за рівнянням) обсяги експорту становлять:
=
221,8 + 8,38 · 1 = 230,2 
=
221,8 + 8,38 · 4 = 255,3
=
221,8 + 8,38 · 2 = 238,6 
=
221,8 + 8,38 · 5 = 263,7
=
221,8 + 8,38 · 3 = 246,9 
=
221,8 + 8,38 · 6 = 272,1
5. Для перевірки істотності зв’язку знайдемо теоретичний коефіцієнт детермінації
,
де
– загальна дисперсія експорту:
–
залишкова
дисперсія експорту:
Це означає, що на 84,3% обсяги експорту обумовлені трендом, що склався в динамічному ряді.
F – критерій Фішера.
де n – число років = 6
m – число параметрів лінійного тренду – їх 2 (а; b).
Табличне, критичне значення F знайдемо в стандартній таблиці (табл. 6.5) за значеннями (n – m) та (m – 1) та при заданому рівні істотності α=0,05.
Критичне значення F = 7,71, це менше ніж одержане Fрозр. = 21,5, тому істотність (не випадковість) зв’язку вважається доведеною.
Таблиця 6.5.Критичні значення F – критерію Фішера при рівні істотності α=0,05.
n – m |
m – 1 |
n – m |
m – 1 |
||||
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
||
3 |
10,13 |
9,55 |
9,28 |
9 |
5,12 |
4,26 |
3,86 |
4 |
7,71 |
6,94 |
6,59 |
10 |
4,96 |
4,10 |
3,71 |
5 |
6,61 |
5,79 |
5,41 |
11 |
4,84 |
3,98 |
3,59 |
6 |
5,99 |
5,14 |
4,76 |
12 |
4,75 |
3,88 |
3,49 |
7 |
5,59 |
4,74 |
4,35 |
14 |
4,60 |
3,74 |
|
8 |
5,32 |
4,46 |
4,07 |
15 |
4,54 |
3,68 |
3,29 |
6. Обчислимо відносну помилку апроксимації
Помилка не перевищує 15%, що означає можливість одержання досить точного прогнозу на 2003 рік (t = 7)
=
221,8 + 8,38 · 7 = 280,5 (тис. дол.)
Для побудови інтервального прогнозу, знайдемо граничну помилку моделі при рівні істотності 0,05
Таблиця 6.6.Значення двостороннього t – критерію Ст’юдента при рівні істотності α= 0,10; 0,05; 0,01.
n – 1 |
Рівень істотності |
n – 1 |
Рівень істотності |
||||
0,10 |
0,05 |
0,01 |
0,10 |
0,05 |
0,01 |
||
3 |
2,3534 |
3,1825 |
5,8409 |
9 |
1,8331 |
2,2622 |
3,2498 |
4 |
2,1318 |
2,7764 |
4,6041 |
10 |
1,8125 |
2,2281 |
3,1693 |
5 |
2,015 |
2,5706 |
4,0321 |
11 |
1,7959 |
2,2010 |
3,1058 |
6 |
1,9432 |
2,4469 |
3,7074 |
12 |
1,7823 |
2,1788 |
3,0545 |
7 |
1,8946 |
2,3646 |
3,4995 |
14 |
1,7613 |
2,1448 |
2,9768 |
8 |
1,8595 |
2,3060 |
3,3554 |
15 |
1,7530 |
2,1315 |
2,9467 |
,
де v – період упередження прогнозу (за умовою = 1 рік)
(тис.
дол.)
Висновок: на 2003 рік з імовірністю помилки не більше 5% можна очікувати обсяги експорту від 280,5 – 26,6 = 253,9 тис. дол. до 280,5 + 26,6 = 307,1 тис. дол.