§ 2.4. Математическое ожидание случайной величины

Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х, принимающей конечное множество значений с законом распределения

Р(Х = ) = , k=1, 2, …, n (2.4.1)

(2.4.2)

называется сумма произведений ее значений на их соответствующие вероятности:

M(X) = + +…+ , M(X) =

Для обозначения математического ожидания используются и другие символы: ЕХ, a, .

Математическое ожидание дискретной случайной величины приближенно равно среднему арифметическому всех ее возможных значений. Вследствие этого математическое ожидание случайной величины называют ее средним значением.

Замечание. Математическое ожидание случайной величины называют также центром распределения. Это название заимствовано из механики и объясняется следующим: если в точках , оси находятся соответственно массы , , то координата х центра тяжести системы материальных точек вычисляется по формуле

х=

Поскольку выполняется условие (2.4.2)‚ то

х = = М(Х)

Математическое ожидание дискретной случайной величины, принимающей бесконечную последовательность значений с законом распределения

Р(Х = ) = , k=1, 2, 3 …, (2.4.4)

(2.4.5)

определяется формулой

М(Х) = = , (2.4.6)

если этот ряд сходится абсолютно.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х, все значения которой принадлежат отрезку , а р(х) - ее плотность вероятностей, определяется формулой

M(X) = (2.4.7)

Если все значения непрерывной случайной величины Х принадлежат бесконечному промежутку (- )‚ а р(х) - ее плотность вероятностей, то математическое ожидание определяется формулой

M(X) = (2.4.8)

когда этот несобственный интеграл сходится абсолютно.

Отметим, что математическое ожидание случайной величины есть величина постоянная.

Свойства математического ожидания случайной величины Х

1. Значение математического ожидания случайной величины Х заключено между ее наименьшим и наибольшим значениями:

a , (2.4.9)

где а - наименьшее, b - наибольшее значение величины Х.

2. Математическое ожидание постоянной величины равно пой постоянной:

М (С) = С (С = const). (2.4. 10)

3. Постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания:

М (СХ) = СМ (Х) (С = const). (2.4.11)

4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

М (Х+Y)=М (Х)+М(У). (2.4.12)

Это равенство распространяется на n случайных величин:

М ( + +...+ ) =М ( )+М ( )+...+М( ). (2.4.13)

5. Математическое ожидание разности двух случайных величин равно разности их математических ожиданий:

М(Х-Y)=М(Х)-М(У). (2.4.14)

6. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин:

М(Х·У)=М(Х)·М(У). (2.4.15)

Это равенство распространяется на n независимых случайных величин

М( ... · ) =М( ) · М( )·…·М( ). (2.4.16)

Пример 1 . Найти математическое ожидание дискретной случайной величины, закон распределения которой задан таблицей

Х	3	4	5	6	7
Р	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1

Решение. В соответствии с формулой (2.4.3) находим

М(Х)=3·0‚1+4·0‚2+5·0‚4+6·0‚2+7·0,1 =0‚3+0‚8+ 2,0+1‚2 +0‚7 = 5.

Итак, математическое ожидание данной случайной величины равно 5. Неравенства (2.4.9) выполняются: 3 < 5 <7

Пример 2 . Закон распределения дискретной случайной величины

Х	-4	-2	0	2	4
Р	0,1	0,2	0,15	0,25	0,3

Записать законы распределения случайных величин 3Х, Х/2. Найти математические ожидания случайных величин Х, 3X, Х/2.

Решение . Запишем законы распределения случайных величин 3X и Х/2 с помощью таблиц:

3Х	-12	-6	0	6	12
Р	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1

Х/2	-2	-1	0	1	2
Р	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1

По формуле (2.4.3) вычисляем математические ожидания этих величин:

М (Х)= -4·0,1+(-2)·0‚2+0·0,15+2·0,25+4·0‚3 = 0,9;

М(3Х)= -12·0‚1+(-6)·0‚2+0·0,15+6·0‚25+12·0,3=2‚7;

М (Х/2)= -2·0‚1+(-1)·0‚2+0·0‚15+1·0,25+2·0,3 = 0,45.

3амечание . Математическое ожидание случайных величин 3Х и Х/2 величин можно вычислить, пользуясь равенством (2.4.11), при известном математическом ожидании величины Х:

М(3Х)=3M(Х)=3·0‚9=2‚7;

М( Х)= M(Х)= ·0‚9=0,45.

Пример 3 . Известны математические ожидания двух случайных величин Х и Y: М(Х)=3, М(У)=2.

Найти математические ожидания суммы и разности этих величин.

Решение. На основании формул (2.4.12) и (2.4.14) заключаем, что

M(X+Y) = M(X) + M(Y) = 3+2 = 5,

M(X-Y) = M(X) - M(Y) = 3-2 =1.

Пример 4. Известны математические ожидания двух независимых случайных величин Х и Y: М(Х) = 4, М(Y) = 5.

Найти математическое ожидание их произведения.

Решение. Применяя формулу (2.4.15)‚ находим

M(X·Y) = M(X) · M(Y) = 4·5 =20.

Пример 5. Найти математическое ожидание случайной величины Y=2Х+7, eсли известно, что М(Х)=4.

Решение. Пользуясь формулами (2.4.10), (2.4.11), (2.4.12), находим

M(Y) = М(2Х+7) = М(2Х)+ М(7)=2М(Х)+7=2·4+7=15.

Пример 6. Подбрасывается игральный кубик. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины Х, равной числу выпавших очков.

Решение. Эта случайная величина может принимать шесть значений: =1‚ =2‚ =3‚ =4, =5‚ =6; вероятность каждого из них одна и та же, равная 1/6. Закон распределения случайной величины Х можно задать формулами

Р(Х = ) = , k=1, 2, 3, 4, 5, 6;

По формуле (2.4.3) находим математическое ожидание

М(X)=(1+2+3+4+5+6)· = 3‚5.

Пример 7. Подбрасываются два игральных кубика. Дискретная случайная величина Х – сумма очков, выпавших на обоих кубиках. Найти математическое ожидание этой случайной величины.

Решение. Данная случайная величина принимает все целые значения от 2 до 12. Закон ее распределения можно задать следующей таблицей:

Х	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Р

По формуле (2.4.3) находим

M(X) = 2· + 3· + 4· + 5· + 6· + 7· + 8· + 9· +10· + 11· + 12· = = = 7.

Замечание 1. Этот результат можно получить проще. Случайную величину числа очков, выпадающих на одном кубике, обозначим через Х, а на другом –через Y. Эти случайные величины имеют одинаковые законы распределения (см.пример 6). По формуле (2.4.12) получаем

М(Х+Y)=М(Х)+М(Y)==3,5+3,5==7.

Замечание 2. Поскольку величины X и Y независимы, то можно найти и математическое ожидание случайной величины Z = XY – произведения числа очков, выпавших при одновременном подбрасывании двух кубиков. По формуле (2.4.15) имеем:

M(Z) = M(X·Y) = M(X)·M(Y) = 3,5 · 3,5 = 12,25.

Пример 8. Производятся независимые опыты, в каждом из которых событие А наступает с вероятностью р. Опыты продолжаются до первого появления события А. Случайная величина Х – число произведенных опытов. Найти математическое ожидание случайной величины Х.

Решение. Возможные значения этой случайной величины: . Событие Х = n означает, что в первых n-1 опытах событие А не наступает, а в n-м опыте наступает. Вероятность такого исхода равна

Р(Х = n) = , (q=1-p)

n-1 раз

Следовательно, закон распределения случайной величины Х можно представить таблицей

Х	1	2	3	…	n	…
Р	p	pq	p	…	p	…

Находим математическое ожидание этой величины:

М(Х) = 1·p + 2· pq + 3· p + … + np + … = p(1 + 2q + 3 + … + n + …) .

Ряд, записанный в скобках, получается почленным дифференцированием геометрического ряда

q + + + … + + … =

Следовательно,

М(Х) = p( )’ = p = = .

Пример 9. Дискретная случайная величина Х, которая может принимать бесконечную последовательность значений, задана следующим законом распределения

Х	1/3	1/	1/	…	1/	…
Р	1/2	1/	1/	…	1/	…

Найти математическое ожидание случайной величины Х.

Решение. По формуле (2.4.6) находим

М(Х) = = = .

Пример 10. Плотность распределения вероятностей случайной величины Х задана функцией

р(х) =

Найти математическое ожидание случайной величины Х.

Решение. По формуле (2.4.7) находим

М(Х) = · = 1,5 .

Пример 11. Найти математическое ожидание случайной величины Х, если известна функция распределения этой величины

F(x) =

Решение. Найдем сначала плотность распределения вероятностей этой величины. Пользуясь формулой (2.3.5), получаем

р(х) =

Следовательно,

М(Х) = = .

Пример 12. Найти математическое ожидание случайной величины Х, плотность распределения которой задана функцией

р(х) = ( )

Решение. В соответствии с формулой (2.4.8) находим:

М(Х) = + = (0 - ) + ( ) = 0,

поскольку

.

Следовательно,

М(Х) = 0

для данной случайной величины.

Замечание. Если плотность распределения р(х) – функция четная, то хр(х) будет нечетной функцией и в этом случае

M(X) = 0.

Итак, если плотность распределения р(х) – функция четная, то центром распределения случайной величины Х служит начало координат.

Пример 13. Найти математическое ожидание случайной величины Х, функция распрделения которой имеет вид

F(x) =

Решение. Найдем сначала плотность распределения вероятностей этой случайной величниы. Поскольку р(х) = F’(x), то:

р(х) =

С помощью формулы (2.4.7) находим искомое математическое ожидание

М(Х) = = = 0.

Задачи

1. Найдите математическое ожидание дискретной случайной величины, закон распределения которой задан таблицей:

   Х	1	2	3	4	5
   Р	0,15	0,25	0,3	0,2	0,1

2. Закон распределения дискретной случайной величины задан таблицей:

Х	3	6	9	12
Р	0,1	0,2	0,3	0,4

Запишите закон распределения случайных величин 2X, X/3. Найдите математические ожидания случайных величин X, 2X, X/3.

3. Известны математические ожидания двух случайных величин Х и Y: M(X) = 7, M(Y) = 4. Найдите математические ожидания суммы и разности этих величин.

4. Известны математические ожидания двух независимых случайных величин Х и Y: M(X) = 6, M(Y) = 8. Найдите математическое ожидание их произведения.

5. Найдите математическое ожидание случайной величины Y = 8X+5, если известно, что М(Х) = 1,5.

6. Дискретная случайная величина Х, которая может принимать бесконечную последовательность значений, задана следующим законом распределения

Х	1/4			…		…
Р	1/2			…		…

Найдите математическое ожидание этой случайной величины.

7. Плотность распределения вероятностей случайной величины Х задана функцией

р(х) =

Найдите математическое ожидание случайной величины Х.

8. Найдите математическое ожидание случайной величины X, если известна функция распределения этой величины

0 , при х < 0,

F(x)= при 0 < х < 3,

0 , при х > 3 .

9. Найдите математическое ожидание случайной величины X, если функция распределения имеет вид

F(x)=

Ответы

1.2,85.2.9, 18,3.3. 11,3.4.48.5. 17.6. 1/7.7.0,75.8.4,5.9. 1/α.

Вопросы

1.Как определяется математическое ожидание дискретной случай­ной величины X, принимающей конечное множество значений?

2. Какие другие названия используют для математического ожида­ния? Чем объясняются эти названия?

3. Что называют математическим ожиданием дискретной случайной величины X, принимающей счетное множество значений?

4. Как определяется математическое ожидание непрерывной слу­чайной величины, все значения которой принадлежат отрезку [α,β]

5. Как определяется математическое ожидание непрерывной слу­чайной величины, все значения которой принадлежат бесконечному промежутку (- , + )?

6. Каковы свойства математического ожидания случайной величины?

7. Какому условию должны удовлетворять случайные величины X и Y, чтобы выполнялось равенство (2.4.15)?

8. Докажите, что математическое ожидание неотрицательной дис­кретной величины неотрицательно.