§ 1.5. Геометрические вероятности

Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов конечно. На практике встречаются опыты, для которых множество таких исходов бесконечно.

Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности – вероятности попадания точки в область.

На плоскости задана кодируемая область, т.е. область, имеющая площадь. Обозначим эту область буквой G, а ее площадь . В области G содержится область g площади (рис. 1.1). В область G наудачу брошена точка. Будем считать, что брошенная точка может попасть в некоторую часть области G с вероятность, пропорциональной площади этой части и не зависящей от ее формы и расположения. Пусть A – попадание брошенной точки в область g, тогда геометрическая вероятность этого события определяется формулой

G

g

Рис. 1.1

. (1.5.1)

Аналогично вводится понятие геометрической вероятности при бросании точки в пространственную область G объема , содержащую область g объема :

. (1.5.2)

В общем случае понятие геометрической вероятности вводится следующим образом. Обозначим меру области (длину, площадь, объем) через mes g, а меру области G – через mes G (mes – первые три буквы французского слова mesure, что значит мера); обозначим буквой A событие “попадание брошенной точки в область g, которая содержится в области G”. Вероятность попадания в область g точки, брошенной в область G, определяется формулой

. (1.5.3)

П р и м е р 1 . В круг вписан квадрат (рис. 1.2). В круг наудачу бросается точка. Какова вероятность того, что точка попадет в квадрат?

Р е ш е н и е . Введем обозначение R – радиус круга, a – сторона вписанного квадрата,

A – попадание точки в квадрат, S – площадь круга, - площадь вписанного квадрата. Как известно, площадь круга π . Сторона вписанного квадрата через радиус описанной окружности выражается формулой , поэтому площадь квадрата .

Полагая формуле (1.5.1) ,

= S , находим искомую вероятность

L M

З а м е ч а н и е . Выражение стороны

квадрата через радиус окружности можно

получить следующим образом. Из

по теореме Пифагора ,

т.е. , ,

, .

K N

Рис. 1.2

П р и м е р 2 . В квадрат (рис. 1.3) с вершинами в точках О(0,0), К(0,1), L(1,1), M(1,0) наудачу брошена точка Q(x,y). Найти вероятность того, что координаты этой точки удовлетворяют неравенству .

Р е ш е н и е . Проведем прямую (1/2)x,

она пересечет отрезок ML в точке N(1;1/2) . y

Эта прямая рассекает плоскость на две полу- K L

Q

плоскости: для координат точек первой из

них (верхней) будет выполняться неравенство C N

y > x/2, для второй (нижней) y < x/2.

Все точки, принадлежащие квадрату 0 M x

OKLM и координаты Рис. 1.3

которых удовлетворяют неравенству y > x/2, находятся в многоугольнике OKLM. Этот многоугольник состоит из прямоугольника CKLN и треугольника OCN, его площадь . Площадь S квадрата OKLM равна единице: . В соответствии с формулой (1.5.1) приняв , найдем искомую вероятность

.

П р и м е р 3 . (Задача Бюффона). Плоскость расчерчена параллельными прямыми, расстояние между которыми равно а. На эту плоскость бросается наудачу отрезок длины l(l < a). Какова вероятность того, что отрезок пересекается хотя бы с одной из прямых се- мейства?

Р е ш е н и е . Расстояние от верхнего конца

x отрезка до ближайшей снизу прямой обо-

а l y значим через y (рис. 1.4). Угол между отрез-

ком и лучом, параллельным прямым се-

мейства, начало которого совпадает с верх-

ним концом отрезка, обозначим через x.

Очевидно, 0 ≤ y ≤ a, 0 ≤ x ≤ π . Для того, чтобы

Рис. 1.4 отрезок пересекал хотя бы одну из прямых

семейства, необходимо и достаточно, чтобы . Выражение “отрезок брошен наудачу” будем понимать так: точка (x,y) наудачу брошена на прямоугольник: (рис. 1.5). Точки, коорди-

наты которых удовлетворяют неравенству

y , образуют фигуру, заштрихован-

ную на рис 1.5. Площадь этой фигуры

а

Площадь всего прямоугольника есть S = aπ . По формуле (1.5.1), приняв ,

0 π x , найдем искомую вероятность

При подсчете числа благоприятных случаев здесь воспользовались правилом произведения: букву m можно выбрать одним способом, буквy o - двумя, букву p - двумя способами.

Пример 8. На шести одинаковых по форме и размеру карточках написаны буквы слова талант, - по одной букве на каждой карточке. Карточки тщательно перемешаны . Их вынимают наудачу и располагают на столе одна за другой. Какова вероятность снова получить слово талант?

P e ш e н и e. Занумеруем карточки c буквами:

1	2	3	4	5	6
а	а	л	н	т	т

Слово ,талант не изменится, если буквы a переставить местами, но по расположению карточек получится иная комбинация: т₅ а₂ л₃ а₁ н₄ т₆.

Если в каждой из эта двух комбинаций то же проделать c буквой т, то получим еще 2 различные комбинации карточек со словом талант. Значит, появлению слова талант благоприятствуют 4 элементарных исхода. Общее число равновозможных элементарных исходов равна числу пeрecтaновок из б элементов: n = б!= 720. Следовательно, искомая вероятность

Р= = =

З а м е ч а н и е. Эту вероятность можно найти и с помощью формулы (1.3.7), которая при n = б, n1= 1, n2 = 1, n3=2, n4= 2 принимает вид:

Р₆ (1,1,2,2) = 180. Таким образом, P = 1/180.

П p и м e p 9 . На пяти одинаковых карточках написаны буквы на двух карточках л, на остальных трех u. Выкладывают наудачу эти карточки в ряд. Какова вероятность того, что при этом получится слово лилии?

Р е ш е н и е . Найдем число перестановок из этик пяти букв c повторениями. По формуле (1.3.7) при n = 5, n1 = 2, n2 = 3 получаем

P₅(2,3)= =10

Это oбщeе число равновозможных исходов опыта, даному coбытию А-«появление слова лилии" благоприятствует один. B соответствии С формулой (1.2.1) получаем

P(A)= =0,1

9. В прямоугольник с вершинами R(-2,0), L(-2,9), M(4,9), N(4,0) брошена точка. Найти вероятность того, что ее координаты будут удовлетворять неравенствам

10. Область G окружностью , а область g – этой окружностью и параболой . В область G брошена точка. Какова вероятность того, что она попадает в область g ?

Ответы

1. 0,75. 2. Указание. Cторона a треугольника через радиус R описанной окружности выражается формулой a = R. 3. 0,25. 4. . Указание. a = 4R . 5. 0,25. 6. . 7. 0,3 8. . 9. 10.

Вопросы

1. Как определяется геометрическая вероятность в общем случае ?

2. Как определяется геометрическая вероятность в пространственном случае?

3. Как определяется геометрическая вероятность в плоском случае?

4. Как определяется геометрическая вероятность в линейном случае?

5. Каковы свойства геометрической вероятности ?

6. Приведите собственный пример на геометрическую вероятность.