Глава 4.

Закон больших чисел. Предельные теоремы.

4.1 Неравенства Маркова и Чебышева.

Если возможные значения дискретной случайной величины Х неотрицательны и существует ее математическое ожидание, то для любого числа справедливо неравенство

В этом случае выполняется неравенство

Это неравенства Маркова.

Если Х- случайная величина, которая имеет математическое ожидание, а дисперсия конечна, то для любого числа ε>0 выполняются неравенства:

Это два неравенства Чебышева.

Пример 1

Средний вес клубня картофеля равен 120г. Какова вероятность того, что наугад взятый клубень картофеля весит не более 360г?

Решение

Искомую вероятность оценим по формуле. Случайную величину – вес клубня – обозначим через Х. по условию М(Х)=120, =360. воспользовавшись неравенством, получим

Пример 2

Среднее число молодых специалистов, ежегодно направляемых в аспирантуру, составляет 200 человек. Оценить вероятность того, что в данном году будет направлено в аспирантуру не более 220 молодых специалистов.

Решение

В данном случае а=200, =220. применяя неравенство, получим

Пример 3

Оценить вероятность того, что при 3600 независимых подбрасываниях, игрального кубика числа появлений 6 очков будет не меньше 900.

Решение

Пусть Х – число появлений 6 очков при 3600, тогда М(Х)=3600*1/6=600. воспользуемся неравенством при а=600, =900:

Пример 4

Случайная величина Х имеет дисперсию D(Х)=0,001. Какова вероятность того, что случайная величина Х отличается от М(Х)=а более чем на 0.1?

Решение

По первому неравенству Чебышева

Пример 5

Случайная величина Х имеет дисперсию D(X)=0.004. найти вероятность того, что случайная величина Х отличается от М(Х) более чем на 0,2.

Решение

В соответствии с неравенством получаем

Пример 6

Для случайной величины Х известна дисперсия D(X)=0.009 и неравенство Найти число а.

Решение

Из этих двух неравенств следует, что откуда 0,009<=0.1a

Следовательно,

Пример 7

Для случайной величины Х известна дисперсия D(X)=0.001 b неравенство . найти значение а.

Решение

По условию

Из этих двух неравенств следует, что

Пример 8

Среднее значение длины детали равно 50см, а дисперсия равна 0,1. Оценить вероятность того, что изготовленная деталь окажется по своей длине не меньше 49,5 см и не больше 50,5см.

Решение

Поскольку здесь а=50, то условие 49,5<X<50.5, в котором случайная величина Х обозначает возможную длину детали, приводится почленным вычитанием числа а=50 к виду

Ε=0,5 D(X)=0.1

Пример 9

Всхожесть семян некоторой культуры равна 0,75. Оценить вероятность того, что из посеянных 1000семян число взошедших окажется от 700 до 800 включительно.

Решение

В данном случае М(Х)=а=1000*0,75=750, граничные значения случайной величины Х симметричны относительно М(Х)=750. поэтому от исходных неравенств 700<=Х<=800 можно перейти к неравенству -50<=X-750<=50.

Значение D(X) найдем по формуле D(X)=npq.

Следовательно,

Пример 10

Вероятность производства нестандартной детали в некоторых технологических условиях равна 0,1. Оценить вероятность того, что число нестандартных деталей среди 100000 будет заключено в границах от 950 до 1030 включительно.

Решение

Число нестандартных деталей в данных условиях является случайной величиной Х, распределенной по биномиальному закону. В соответствии с формулами при n=10000, p=0.1, q=0.9получаем М(Х)=10000*0,1=1000, D(X)=10000*0.1*0.9=900, отсюда видно, что границы допустимых значений случайной величины не симметричны относительно математического ожидания 9левая меньше его на 1000-950=50, а правая больше на 1030-1000=30). Следовательно. Применить неравенство Чебышева для оценки вероятности указанного события нельзя.

Учитывая, что двойное неравенство 950<=X<=1050 равносильно неравенству применяем неравенство при ε=50 D(X)=900:

Задачи

1. Вероятность наступления события А в каждом из 100 независимых опытов равна 0,8. Найдите вероятность того, что число наступлений событий А в этих 1000 опытах отклонится от своего математического ожидания по модулю меньше чем на 50.

2. Среднее число дождливых дней в году в данном пункте равно 90. Какова вероятность того, что в этом пункте будет более 150 дождливых дней в году?

3. Случайная величина задана таблицей:

Х	1	2	3	5	7	8
Р	0,1	0,3	0,2	0,1	0,2	0,1

Пользуясь неравенством Маркова, оцените вероятность того, что случайная величина Х примет значение не больше 7.

4. Вероятность появления события А в каждом испытании р=1/2. Используя неравенство Чебышева оцените вероятность того, что число Х появлений события , А заключено в пределах от 40 до 60, если будет произведено 100 независимых испытаний.

5. Используя неравенство Чебышева, оцените вероятность того, что

Если D(X)=0.004

Ответы

1. 0,936. 2. 0,6. 3. Р(<=7)>3/7. 4. Р>=0.75. 5. Р>=0.9

Вопросы.

1. Что называют неравенствами Маркова?

2. Какой вид имеет первое неравенство Чебышева?

3. Какой вид имеет второе неравенство Чебышева?

4. В каком случае неравенство дает нетривиальную оценку?

Теорема Чебышева. Теорема Бернулли.

Теорема Чебышева

Если случайные величины независимы, имеют математические ожидания

и дисперсию , ограниченные одним и тем же числом С, то для любого числа ε>0 выполняется неравенство

Отсюда следует, что

Если все случайные величины (i=1,2,3,…n) имеют одно и то же математическое ожидание , то неравенство примет вид

Теорема Бернулли

Если в каждом из n независимых испытаний вероятность р появления события А постоянна, то вероятность того, что отклонение частоты m/n от вероятности р по модулю не превзойдет чмсла ε>0, больше, чем разность , т.е.

Отсюда следует, что

Замечание 1

Теорема Бернулли подтверждает обоснованность статистического определения вероятности.

Замечание 2

Эта теорема опубликована в 1913г., она положила начало теории вероятностей как науке. Доказательство Я.Бернулли было очень сложным. Более простое доказательство предложил Л.Чебышев в 1846г.

Пример 1

Найти вероятность того, что частота появления шестерки в 10000 независимых испытаниях игрального кубика отклоняется от вероятности появления шестерки по модулю меньше чем на 0,01.

Решение

Воспользуемся неравенством Бернулли. В данном случае n=10000, p=1/6, q=5/6, поэтому

Пример 2

При штамповке пластинок из пластмассы брак составляет 3%. Найти вероятность того, что при проверки партии в 1000 пластинок выявится отклонение от установленного процента брака меньше чем на 1%.

Решение

Из условия задачи следует, что n=10000, p=0.03, q=1-p=0.97.

В соответствии с формулой получаем

Пример 3

При каком числе независимых испытаний вероятность выполнения неравенства

Превысит 0,96, если вероятность появления события в отдельном испытании р=0,7?

Решение

По условию задачи имеем: ε=0,2 р=0,7. Поэтому q=0.3; требуется определить n с помощью неравенства. Условие Р>0,96 равносильно неравенству

откуда

Следовательно, требуемое неравенство выполнится при испытаниях начиная с 132.

Пример 4

Для определения средней урожайности поля площадью 1800га взяли на выборку по 1 м кв. С каждого гектара. Известно, что каждому гектару поля дисперсия не превышает 6 .оценить вероятность того, что отклонение средней выборочной урожайности отличается от средней урожайности по всему полю не более чем на 0,25ц.

Решение

В правой части неравенства, определяющего искомую вероятность, условием определены значения: С=6 и n=1800. Следовательно,

Пример 5

Дисперсия каждого из 1000 независимых случайных величин равна 4. Оценить вероятность того, что отклонение средней арифметической этих величин от средней арифметической их математических ожиданий по модулю не превзойдет 0,1.

Решение

В соответствии с неравенством при С=4 получаем

Таким образом

Пример 6

Определить, сколько надо произвести замеров поперечного сечения деревьев на большом участке, чтобы средний диаметр деревьев отличался от истинного значения а не более чем на 2 см с вероятностью не меньшей 0,95. Среднее квадратическое отклонение поперечного сечения деревьев не превышает 10 см и измерения проводятся без погрешностей.

Решение

Будем считать выбор деревьев для замеров таким, что можно считать результаты измерений независимыми случайными величинами. Обозначим через результаты измерения поперечного сечения i-го дерева. По условию задачи , следовательно .

Полагая в неравенстве ε=2, С=100 получаем

Поскольку

, то

Итак, достаточно выполнить 500 замеров поперечного сечения деревьев.

Пример 7

Всхожесть семян некоторого растения составляет 70%. Найти вероятность того, что при посеве 100000 семян отклонение доли взошедших семян от вероятности того, что взойдет каждое из них, не превзойдет по модулю 0,01.

Решение

Из условия следует, что n=10000, ε=0.01, p=0.7. q=0.3.

Пример 8

Дана последовательность независимых случайных величин каждая из которых может принимать значения: соответственно с вероятностями:

Можно ли к этим величинам применить теорему Чебышева?

Решение

Чтобы дать ответ на поставленный вопрос, проверим ограниченность дисперсией данных величин одной и той же постоянной С (остальные условия теоремы Чебышева выполняются: независимость случайных величин и достаточно большое число их). Для начала найдем их математические ожидания:

Математические ожидания их квадратов:

то дисперсии всех случайных величин одинаковы, они ограничены одним

итак, к данным случайным величинам можно применить теорему, т.к. все условия выполнены.

Пример 9

Известно, что дисперсия каждой из данных независимых случайных величин не превышает 4. Определить число таких величин, при котором вероятность отклонения средней арифметической случайной величины от средней арифметической их математических ожиданий не более чем на 0,25 превысит 0,99.

Решение

С=4 ε=0,25, тогда неравенство имеет вид

Из условия следует, что

откуда

Пример 10

Начиная с какого числа n независимых испытаний выполняется неравенство если в отдельном испытании р=0,8?

Решение

поэтому

Отсюда находим

Таким образом

Задачи

1. Вероятность положительного исхода отдельного испытания р=0,8. Оцените вероятность того, что при 1000 независимых повторных испытаний отклонение частоты положительных исходов от вероятности при отдельном испытании по модулю будет меньше 0,05.

2. Сколько следует провести независимых испытаний, чтобы вероятность выполнения неравенства превысила 0,78, если вероятность появления данного события в отдельном испытании р=0,7?

3. Для определения средней продолжительности горения электролампы в партии из 200 одинаковых ящиков было взято на выборку по одной лампе из каждого ящика. Оценить вероятность того, что средняя продолжительность горения отобранных 200 электроламп отличается от средней продолжительности горения во всей партии по модулю меньше чем на 5ч., если известно, что среднее квадратическое отклонение продолжительности горения ламп в каждом ящике меньше 7ч.?

4. Сколько раз нужно измерить данную величину, истинное значение которой равно а, чтобы с вероятностью, не меньшей чем на 0,95, можно было утверждать, что среднее арифметическое этих измерений отличается от а по модулю меньше чем на 2, если среднее квадратическое отклонение каждого измерения меньше 10.

5. Сколько должно быть произведено независимых измерений некоторой величины, чтобы с вероятностью , не меньшей чем на 0,98 можно было утверждать, что среднее арифметическое результатов измерений отличается от истинного значения по модулю меньше чем на 0,01, если дисперсия отдельного резултата измерения не превосходит 1?

6. Дана последовательность независимых случайных величин . Случайная величина может принимать только значения : с вероятностями, равными соответственно . Применима ли к этой последовательности случайных величин теорема Чебышева?

Ответы

1. P>0.936. 2.n>265. 3. P>0.99 Указание. . 4. . 5. n= . 6. Применима. Указание.

Вопросы

1. Какую словесную формулировку имеет теорема Чебышева?

2. Как записывается формула, выражающая теорему Чебышева?

3. Какой вид имеет эта формула в предельном случае?

4. Какой вид имеет формула, выражающая теорему Чебышева, в случае, когда все величины одинаково распределены?

5. Как записывается формула, выражающая теорему Чебышева, в предельном случае?

6. Какую словесную формулировку имеет теорема Бернулли?

7. Как записывается формула, выражающая теорему Бернулли?

8. Какой вид имеет эта формула в предельном случае?

9. Каким условиям должны удовлетворять случайные величины , чтобы к ним можно было применить теорему Чебышева?

10. Какова связь между теоремой Бернулли и теоремой Чебышева?

Теоремы Лапласа

Если вероятность появления события А в каждом из n независимых испытаний равна и той же постоянной р (0<p<1), то вероятность того, что во всех этих испытаниях событие А появится ровно к раз, приближенно выражается формулой

При

Где

Отметим, что таблицы значений функции даны в приложении к учебникам и учебным пособиям по теории вероятностей; имеются они и в данном пособии.

Интегральная теорема Лапласа

Если вероятность появления события А в каждом из n независимых испытаний равна и той же постоянной р (0<p<1), то вероятность того, что во всех этих испытаниях событие А появится не менее раз, приближенно определяется формулой

где

Замечание. Приближенными формулами Лапласа на практике пользуются в случае, если npq>10, то эти формулы приводят к большим погрешностям.

Вероятность отклонения относительной частоты от

постоянной вероятности в независимых испытаниях.

Вероятность того, что при n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p(0<p<1), модуль отклонения частоты появления события от вероятности события не превышает положительного числа ε, приближенно равна удвоенному значении. Функции Лапласа при :

Пример 1

Вероятность появления события А в каждом из 900 независимых испытаниях равна р=0,8. найти вероятность того, что событие А произойдет : а)750 раз б)710 раз.

Решение

Из условия следует, что n=900, p=0.8, поэтому q=0.2.

В первом случае к=750, во втором к=710. Поскольку npq=900*0.8*0.2=144>10, то можно воспользоваться формулой.

Рассмотрим первый случай:

По таблице значений найдем

Искомая вероятность будет:

Аналогично находим вероятность во втором случае

Пример 2

Сколько раз с вероятностью 0,0484 можно ожидать появление события А в 100 независимых испытаниях, если вероятность его появления в отдельном испытании равна 0,5?

Решение

Из условия следует, что n=100, требуется определить к.

Отсюда находим

По таблице значений найдем х=1,09

Подставляя это значение в выражение для х, получаем

Поскольку к – целое число, получаем к=55.

Пример 3

Вероятность появления события А в каждом из 900 независимых испытаний равна р=0,8. Найти вероятность того, что событие А произойдет не менее 710 раз и не более 740 раз.

Решение

По условию Поэтому q=2.

По таблице значений функции Лапласа определяем

Получаем искомую вероятность

Пример 4

Вероятность того, что электролампочка, изготовленная данным заводом, является бракованной, равна 0,02. Для контроля отобрано наугад 1000 лампочек Оценить вероятность того, что частота бракованных лампочек в выборке отличается от вероятности 0,02 менее чем на 0,01.

Решение

Обозначим через к – число бракованных лампочек в выборке. Нам нужно оценить вероятность неравенства

Отсюда найдем, в каких границах заключено число k: