§ 2.7. Функции случайных величин

Если каждому возможному значению случайной величины X по определенному правилу f поставлено в соответствии одно возможное зна­чение случайной величины Y, то Y называют функцией случайного аргу­мента X:

Y = f(X)

Закон распределения вероятностей функции Y по заданному закону распределения вероятностей аргумента X и математическое ожидание функции можно найти следующим образом.

Рассмотрим сначала случай, когда аргумент X- дискретная случай­ная величина с возможными значениями x₁,x₂,…,x_n, вероятности ко­торых соответственно равны p₁,p₂,…,p_n. Очевидно, Y- также дис­кретная случайная величины с возможными значениями y₁=f(x₁), y₂=f(x₂),…, y_n=f(x_n). Так как событие "величина X приняла значение х_i", влечет за собой событие "величина Y приняла зна­чение f(x_i)", то вероятности возможных значений функции Y соответ­ственно равны p₁,p₂,…,p_n .

Следовательно, математическое ожидание функции Y=f(X) опре­деляется формулой

M(Y) = M[f(X)]= . (2.7.2)

При записи закона распределения вероятностей функции Y руково­дствуются следующим.

1. Если различным возможным значениям аргумента X соответст­вуют различные возможные значения функции Y, то вероятности соот­ветствующих значений X и Y равны между собой:

P(X=x_i)=P(Y=f(x_i))=p_i (i=1,2,…,n) (2.7.3)

2. Если различным возможным значениям X соответствуют значения Y, среди которых есть равные между собой, то следует складывать веро­ятности повторяющихся значений Y.

Рассмотрим непрерывную случайную величину X с плотностью рас­пределения р(х). Если у = f(x) – дифференцируемая монотонная функция, обратная которой есть x=φ(у), то плотность распределе­ния g(y) случайной величины Y = f(X) определяется формулой

g(y)=p[φ(y)]∙‌‌│φ'(y)│. (2.7.4)

Для отыскания математического ожидания функции Y = f(X) нуж­но сначала найти плотность распределения g(y) величины Y, а затем воспользоваться формулой

M(Y)= . (2.7.5.)

Если отыскание функции g(y) является затруднительным, то мож­но непосредственно найти математическое ожидание функции Y = f(X) по формуле

M[f(X)]= . (2.7.6)

В частности, если возможные значения X принадлежат интервалу (а,b), то

M[f(X)]= . (2.7.7)

Рассмотрим функции двух случайных аргументов.

Если каждой паре возможных значений случайных величин X и Y по определенному правилу f поставлено в соответствии одно возможное значение случайной величины Z, то Z называют функцией двух случай­ных аргументов X и Y:

Z = f (X ,Y). (2.7.8)

Одной из простейших функций двух случайных аргументов является функция

Z = X + Y (2.7.9)

Если X и Y - дискретные независимые случайные величины, го для записи закона распределения функции Z=X+Y надо найти все возможные значения Y и их вероятности.

Если X и Y - непрерывные независимые случайные величины, го плотность распределения g(z) функции (2.7.3) может быть найдена с помощью формулы

g(z)= (2.7.10)

или с помощью равносильной формулы

g(z)= (2.7.11)

где р₁,(x), р₂(у) - плотности распределения аргументов.

Если возможные значения аргументов неотрицательны, то g(z) на­ходят по формуле

g(z)= (2.7.12)

или по равносильной формуле

g(z)= (2.7.13)

Плотность распределения суммы независимых случайных величин называют композицией.

Закон распределения вероятностей называют устойчивым, если композиция таких законов есть тот же закон (отличающийся, вообще говоря, параметрами).

Пример 1. Дискретная случайная величина X задана законом рас­пределения

X	1	2	3	4	5
P	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1

Записать закон распределения случайной величины Y = X³.

Решение. Случайная величина Y принимает значения, равные кубам значений величины X с теми же вероятностями, что и случайная вели­чина X. Кубы значений случайной величины X равны:

y₁ = x₁³ = 1, y₂ = x₂³ = 8, y₃ = x₃³ = 3³ = 27

y₄ = x₄³ = 4³ = 64, y₅ = x₅³ = 5³ = 125

Закон распределения случайной величины Y = X³ задается сле­дующей таблицей:

Y = X3	1	8	27	64	125
P	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1

Пример 2. Дискретная случайная величина X задана законом рас­пределения

X	-2	-1	0	1	2
P	0,1	0,2	0,15	0,25	0,3

Найти закон распределения и математическое ожидание случайной ве­личины Y = X² .

Решение. Квадрат случайной величины X, т.е. Y = X² - это новая случайная величина, которая с теми же вероятностями, что и случайная величина X, принимает значения, равные квадратом ее значений.

Квадраты случайной величины X равны: (-2)²=4, (-1)² = 1 ,

0² = 0 , 1² = 1 , 2² = 4 , т.е. величина Y = X² принимает значения:

у₁=0, y₂=1, у₃=4. Закон распределения случайной величины Y = X₂ можно записать в виде:

Y = X2	0	1	4
P	0,15	0,45	0,4

Вероятность 0,45 для значения y₂ = 1 получена по теореме сложения вероятностей, с которыми случайная величина X принимает значения х₂=-1, х₄=1 . Аналогично получена вероятность 0,4 для значения y₃= 4.

Согласно формуле (2.7.2) находим математическое ожидание функ­ции Y = Х²:

M(Y)=M(X²)=0∙0,15+1∙0,45+4∙0,4=2,05.

Пример 3. Дискретная случайная величина X имеет закон распре­деления

X	0	1	2	3
P	0,1	0,3	0,4	0,2

Найти закон распределения случайной величины

Y=sin

Решение. Найдем сначала значения функции Y = f(X) = sin X +1.

При х = 0, 1,2,3 получаем соответственно числа 1, 2, 1, 0. Следова­тельно, возможными значениями случайной величины Y являются числа y₁ = 0 , y₂ =1, у₃ =2 . Подсчитаем вероятности этих значений:

P(Y = 0) = Р(Х = 3) = 0,2;

P(Y = 1) = Р(Х = 0)+ Р(Х = 2) = 0,1 + 0,4 = 0,5 ;

P(Y = 2) = Р(Х = 1) = 0,3.

Итак, функция Y = sin X +1 имеет закон распределения

Y = sin X +1	0	1	2
P	0,2	0,5	0,3

Пример 4. Случайная величина X задана плотностью распределе­ния

Найти плотность распределения функции Y = X² .

Решение. На отрезке возможных значений случайной величины X функция у = х² – монотонно возрастающая. Обратная ей функция x = также монотонно возрастает на отрезке [1; 4] – области возмож­ных значений случайной величины Y. Находим производную обратной функции

Применяя формулу (2.7.4), находим

Пример 5. Случайная величина X задана плотностью распределе­ния

(I)

Найти плотность распределения функции Y = X³.

Решение. Поскольку функция у = х³ является дифференцируемой и строго монотонной, то можно применить формулу (2.7.4).

Находим функцию х=φ(у), обратную функции у=х³:

φ(у) = х = у^1/3 и р[φ(y)]. По условию р(х) определена формулой (I),

поэтому

(II)

Находим производную обратной функции по у.

(III)

Подставляя выражения (II) и (III) в формулу (2.7.4), получаем иско­мую плотность распределения функции Y=Х³:

Пример 6 . Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения p(x) = cos x в интервале (0; /2); вне этоuj интервала

р(х) = 0 . Найти математическое ожидание функции Y = X².

Решение. Воспользуемся формулой (2.7.7). в данном случае р(х) = cos х , f(x) = х², а = 0, b= /2 . Следовательно,

Пример 7. Дискретные независимые случайные величины заданы законами распределения:

X	5	6
P	0,4	0,6

Y	7	8
P	0,8	0,2

Составить закон распределения случайной величины Z = X + Y .

Решение. Возможные значения величины Z есть суммы каждого возможного значения X со всеми возможными значениями Y:

z₁ =5 + 7 = 12, z₂ =5 + 8 = 13, z₃ =6 + 7 = 13, z₄=6 + 8 = 14.

Найдем вероятности этих возможных значений. Для того чтобы Z= 12, достаточно, чтобы величина X приняла значение x₁ =5 и вели­чина Y - значение у₁ = 7 . Вероятности этих возможных значений, как следует из данных законов распределения, соответственно равны 0,4 и 0,8. Аргументы X и Y независимы, поэтому события X = 5 и Y = 7 не­зависимы; следовательно, вероятность их совместного появления (т.е. вероятность события Z=5 + 7=12) по теореме умножения равна 0,4∙0,8 = 0,32.

Аналогично находим:

P(Z = 5 + 8 = 13) = 0,4 ∙ 0,2 = 0,08

P(Z = 6 + 7 = 13) = 0,6 ∙ 0,8 = 0,48

P(Z = 6 + 8 = 14) = 0,6 ∙ 0,2 = 0,12

Величина Z принимает три разных значения: 12, 13, 14. Поскольку события (Z = 5 + 8 = 13) и (Z = 6 + 7 = 13) несовместны, то P(Z = 13) = P(Z = 5 + 8 = 13) + P(Z = 6 + 7 = 13) = 0,08 + 0,48 = 0,56 Таким образом, величина Z имеет закон распределения

Z	12	13	14
P	0,32	0,56	0,12

Отметим, что 0,32 + 0,56 + 0,12 = 1 , как и должно быть.

Пример 8. Независимые случайные величины X и Y заданы плотно­стями распределений

p(x) = (0

p(y) = (0

Найти композицию этих законов, т.е. плотность распределения слу­чайной величины Z = X + Y.

Решение. Возможные значения аргументов X и Y неотрицательны, поэтому воспользуемся формулой (2.7.12):

g(z) = dx = dx = (-30) = (1- ) . Отметим, что dz = dx = -6 + 5 = -6∙ (0 – 1)+ 5( 0 – 1) = 6 – 5 =1.

Задачи

1. Дискретная случайная величина X задана законом распределения

X	2	3	4	5
P	0,1	0,3	0,4	0,2

Найдите закон распределения случайной величины Y = X².

2. Дискретная случайная величина X задана законом распределения

X	-3	-2	-1	0	1
P	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1

Найдите закон распределения случайной величины Y =X³.

3. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения

X	0	1	2	3	4
P	0,1	0,2	0,3	0,25	0,15

Найдите закон распределения функции Y = cos X + 2 .

4. Дискретные независимые случайные величины X и Y заданы зако­нами распределения:

X	1	3		Y	5	7
P	0,3	0,7	,	P	0,6	0,4

Найдите закон распределения случайной величины: Z = X + Y .

5. Непрерывная случайная величина X задана плотностью распреде­ления p(x)=e^x в интервале (0,2); вне этого интервала р(х) = 0. Най­дите математическое ожидание функции Y = X².

6. Независимые случайные величины X и Y заданы плотностями распределений

p(x) = (0 ; p(y) = (0 .

Найдите композицию этих законов, т.е. плотность распределения случайной величины Z = X + Y .

Ответы

5. 2( 12,776. 6. p(z) =

Вопросы

1. Что называют функцией случайного аргумента?

2. По какой формуле вычисляется математическое ожидание функ­ции Y = f(X), когда X принимает конечное множество значений?

3. Какой формулой определяется плотность распределения случай­ной величины Y = f(X) ?

4. Какими формулами определяется математическое ожидание функции Y = f(X)?

5. Что называют функцией двух случайных аргументов?

6. Какими формулами определяется плотность распределения функ­ции Z = f(X, Y), где X, Y - непрерывные независимые величины?