§ 3.2. Биномиальное распределение

Предположим, что в одинаковых условиях производится n независимых испытаний, в результате каждого из которых может появиться событие А с вероятностью р или противоположное событие с вероятностью q (q = 1- p). В каждой серии из n испытаний событие А может либо не появиться, либо появиться 1 раз, 2 раза, ... , n раз. Введем в рассмотрение дискретную случайную величину X - "число появлений события А при n испытаниях". Найдем закон распределения этой случайной величины. Величина X может принимать следующие значения: … ,

Вероятность того, что случайная величина X принимает значение , вычисляется по формуле Бернулли

(k = 0, 1, 2, … ,n) (3.2.1)

где

, или .

Закон распределения дискретной случайной величины, определяемый формулой Бернулли, называется биномиальным. Постоянные n и p входящие в формулу (3.2.1), называются параметрами биномиального распределения (q = 1 - р).

Название биномиальное распределение объясняется тем, что правую часть равенства (3.2.1) можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона :

(3.2.2)

Поскольку р + q= 1,

(3.2.3)

т.е.

(3.2.4)

Первый член в правой части разложения (3.2.3.) означает вероятность того, что в n испытаниях событие А не появится ни разу, второй член - вероятность того, что событие А появится один раз, третий член - вероятность того, что событие A появится два раза, наконец, последний член - вероятность тою, что событие А появится n раз.

Биномиальный закон распределения дискретной случайной величины можно представить в виде следующей таблицы

X	0	1	…	k	…	n
P			…		…

Пример 1 . Найти математическое ожидание дискретной случайной величины X, имеющей биномиальное распределение.

Решение. Случайную величину Х - "число появления события А в n независимых испытаниях" можно представить в виде суммы , где - число появления coбытия А в k-м испытании(k = 1, 2, … , n). В соответствии с формулой (2.4.13) имеем

Случайная величина - число появлений события A в одном испытании - может принимать только два значения: (событие A наступило) с вероятностью p и (событие A не наступило) с вероятностью q(q =1 - р). Следовательно,

(

Следовательно

М(Х) = пр. (3.2.5)

Таким образом, математическое ожидание дискретной случайной величины, распределенной по биномиальному закону с параметрами п и р, равно произведению параметров.

Пример 2. Найти дисперсию дискретной случайной величины, распределенной по биномиальному закону.

Решение. Случайную величину Х - "число появления события А при п испытаниях" можно представить как сумму , где - "число появления события А при k-м испытании (k = 1, 2, … , n) . В соответствии с формулой (2.5.9) имеем

С помощью формулы (2.5.10) вычислим для k = 1, 2, … , n .

Случайная величина принимает лишь два значения: с вероятностью р и с вероятностью q =1 - р. Случайная величина также принимает только два значения: с вероятностью р и с вероятностью q. Принимая во внимание равенства (см. пример 1), по формуле (2.5.10), получаем

(

Следовательно,

(3.2.6)

Таким образом, дисперсия случайной величины, распределенной по биномиальному закону с параметром п и р равна произведению npq.

Пример 3. Найти среднее квадратическое отклонение случайной величины X, распределенной по биномиальному закону.

Решение. Принимая во внимание определение среднего квадратического отклонения (см. формулу (2.5.16)) и формулу (3.2.6) (см. пример 2), получаем

G{X) = . (3.2.7)

Пример 4. Вероятность попадания и цель составляет при oтдельном выстреле р=0,8. Найти вероятность пяти попаданий при шести выстрелах.

Решение. Применяем формулу (3.2.1). Так как по условию n=6, k= 5, р = 0,8, следовательно, q = 1 - р = 0,2, то

.

Пример 5. Всхожесть семян данного сорта растений составляет 80 %. Какова вероятность того, что из 5 посеянных семян взойдет не меньше 4.

Решение. В соответствии с условием р = 0,8, поэтому q = 0,2. Далее, п = 5, , т.е. k принимает значения или 4 или 5. Событие, вероятность которого следует определить, обозначим через А, тогда Согласно формуле Бернулли находим вероятности и их сумму

Пример 6. По данным ОТК на 100 металлических брусков, подготовленных для обработки, приходится 30 с зазубринами. Какова вероятность того, что из случайно взятых 7 брусков окажется без дефектов не более 2?

Решение. Обозначим через А событие "на бруске отсутствуют зазубрины", тогда Р(А) = 0,7 и = 0,3, т.е. р = 0,7, q = 0,3. Число испытаний п = 7, k? 2, т.е. k может принимать значения 0, 1, 2. Найдем ис-

комую вероятность:

P( k ≤ 2) = P₇(0) + P₇(1) + P₇(2) = p⁰q⁷ + pq⁶ + p²q² =

= 1∙1∙ (0,3)⁷ + ∙ 0,7∙ (0,3)⁶ + ∙ (0,7)² ∙ (0,3)² =

= (0,3)⁷ +7 ∙ 0,7 ∙ (0,3)⁶ +21∙ (0,7)² ∙ (0,3)⁵ =

= (0,3)⁵[(0,3)² + 7 ∙ 0,7 ∙ 0,3 + 21∙(0,7)²] =

= (0,3)⁵∙(0,09 + 1,47 + 10,29) = (0,3)⁵∙11,85 = 0,0288.

Пример 7 . Проверкой качества установлено, что из каждых 100 деталей не имеют дефектов 75 штук в среднем. Составить биноминальное распределение вероятностей числа пригодных деталей из взятых наудачу 6 деталей.

Решение. Из условия задачи следует, что p = 0,75, q = 0,25, n = 6.

В соответствии с формулой Бернулли находим:

P₆(0) = 1∙(0,25)⁶ ≈ 0,0002; P₆(1) = 6∙ (0,75) ∙ (0,25)⁵ ≈ 0,004;

P₆(2) = 15∙(0,75)²∙(0,25)⁴ ≈ 0,033; P₆(3) = 20∙ (0,75)³ ∙ (0,25)³ ≈ 0,132;

P₆(4) = 15∙(0,75)⁴ ∙ (0,25)² ≈ 0,297; P₆(5) = 6 ∙ (0,75)⁵ ∙ (0,25) ≈ 0,356;

P₆(6) = 1∙ (0,75)⁶ ≈ 0,178.

Закон распределения данной случайной величины Х – « числа стандартных деталей из 6 взятых наудачу» можно задать следующей таблицей:

Х	0	1	2	3	4	5	6
Р	0,000	0,004	0,033	0,132	0,297	0,356	0,178

Убедимся в том, что выполнено равенство (3.2.4), т.е. сумма всех вероятностей равна единице:

0,004+0,033+0,132+0,297+0,356+0,178 = 1.

Пример 8 .Производится 9 независимых испытаний. При каждом испытании событие А появляется с одной и той же вероятностью р=2/3. Записать в виде таблицы закон распределения случайной величины Х – «числа появлений события А при этих испытаниях».

Решение. С помощью формулы Бернулли вычисляем вероятности Р₉(к), где к = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9:

P₉(0) = p⁰q⁹ = = 0,0000;

P₉(1) = q⁸ = 9∙ ∙ = 0,0009;

P₉(2) = = 36∙ = 0,0073;

P₉(3) = = 84∙ = 0,0341.

Продолжая аналогичные вычисления, получаем Р₉(4) = 0,1024; Р₉(5) = 0,2049; Р₉(6) = 0,2733; Р₉(7) = 0,2341; Р₉(8) = 0,1170; Р₉(9) = 0,0260.

Закон распределения данной случайной величины записываем в виде таблицы

Р(А) = Р₅(3,1,1) =

Вопросы

1. Какое распределение вероятностей называется биномиальным?

2. Чем объясняется слово «биномиальный» в названии распределения?

3. Чему равно математическое ожидание случайной величины, распределенной по биномиальному закону с параметрами n и p ?

4. Чему равна дисперсия случайной величины, распределенной по биномиальному закону с параметрами n и p ?

5. Чему равно среднее квадратическое отклонение случайной величины, распределенной по биномиальному закону с параметрами n и p ?

6. Запишите биномиальный закон распределения вероятностей случайной величины в виде таблицы.

7. Какой вид имеет рекуррентная формула для биномиальных вероятностей?

8. Как определяется полиномиальное распределение вероятностей случайной величины?

9. Какова связь между биномиальным распределением и полиномиальным распределением?