§ 1.9. Формула полной вероятности

Рассмотрим n попарно несовместных событий , для которых известны вероятности P( )≠0 (i= 1, 2, …, п) и событие Aϲ , причем известны условные вероятности P(А/ ). Вероятность события А oпределяется формулой

. (1.9.1)

Эта формула называется формулой полной вероятности. События иногда называют гипотезами.

П р и м е р 1. На фабрике изготовляющей болты, первая машина производит 30%, вторая – 25%, третья – 45% всех изделий. Брак в их продукции составляет соответственно 2%, 1%, 3%. Найти вероятность того, что случайно выбранный болт оказался дефективным.

Р е ш е н и е . Обозначим через А событие, состоящее в том, что случайно выбранный болт – дефективный, а через – события, состоящие в том, что этот болт произведен соответственно первой, второй и третьей машинами. Из условия задачи следует, что

По формуле (1.9.1) при n=3 получаем

П р и м е р 2. В пяти ящиках находятся одинаковые по размерам и весу шары. В двух ящиках – по 6 голубых и 4 красных шара (это ящик состава . В двух других ящиках (состава – по 8 голубых и 2 красных шара. В одном ящике (состава - 2 голубых и 8 красных шаров. Наудачу выбирается ящик и из него извлекается шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар оказался красным?

Р е ш е н и е . Событие «извлечен красный шар» обозначаем через А. Из условия задачи следует что

Вероятность вынуть красный шар, если известно, что взят ящик первого состава ,

Вероятность извлечь красный шар, если известно, что взят ящик второго состава,

Вероятность извлечь красный шар, если известно, что взят ящик третьего состава ,

В соответствии с формулой (1.9.1) при n=3 находим искомую вероятность

П р и м е р 3. Партия электрических лампочек на 20% изготовлена первым заводом, на 30% - вторым, на 50% - третьим. Вероятность выпуска бракованных лампочек соответственно равны: Найти вероятность того, что наудачу взятая из партии лампочка окажется стандартной.

Р е ш е н и е . Ведем обозначение: А –«из партии взята стандартная лампочка», - «взятая лампочка зготовлена первым заводом», - «вторам заводом», - «третьим заводом». Найдем условие вероятности (i=1, 2, 3) по формуле

,

где – событие, противоположное событию А (взятая нестандартная лампочка):

= 1 – 0,01 = 0,99 ,

1 0,006 = 0,994.

Из условия задачи следует, что

В соответствии с формулой (1.9.1) получаем

П р и м е р 4. В группе 21 студент, в том числе 5 отличников, 10 хорошо успевающих и 6 занимающихся слабо. На предстоящем эзамене отличники могут получить только отличные оценки. Хорошо успеващие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки. Слабо занимающиеся студенты могут получить с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Для сдачи экзамена приглашается наугад один студент. Найти вероятность того, что он получит хорошую или отличную оценку (событие А).

Р е ш е н и е . Обозначим гепотизы: – «приглашен студент-отличник», - «приглашен хороший студент», - «приглашен слабый студент».

Из условия задачи следует, что

, , .

По формуле (1.9.1) находим искомую вероятность

П р и м е р 5 . На сборку попадают детали с трех автоматов. Известно, что первый автомат дает 0,1% брака, второй – 0,2%, третий – 0,3%. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступило 1000, со второго – 2000 ис третьего – 3000 деталей.

Р е ш е н и е . Ведем обозначения: событие А – «поступила бракованная деталь»; гипотеза - «деталь зготовлена на первом автомате», - «на втором», - «на третьем».

Из условия задачи следует, что

, , .

В соответствии с формулой (1.9.1) находим искомую вероятность

П р и м е р 6 . Рабочий обслуживает 3 танка, на которых обрабатываются однотипные детали. Вероятность брака для первого станка равна 0,002, для второго – 0,03, для третьего – 0,04. Обработанные детали складываются один ящик. Производительность первого станка в три раза больше, чем второго, а третьего в два раза меньше, чем второго. Какого вероятнось того, что взятая наудачу деталь будет бракованной?

Р е ш е н и е . Введем обозначения: событие А – «взята бракованная деталь»; гипотеза – «деталь изготовлена на первом станке», - «деталь изготовлена на втором станке», - «деталь изготовлена на третьем станке».

Пусть х – производительность второго станка, тогда 3х – производительность первого станка, - производительность третьего станка.

В соответствии с условием задачи имеем:

, , .

По формуле (1.9.1) находим искомую вероятность

П р и м е р 7 . На двух автоматических станках изготовляются одинаковые детали. Известно, что производительность первого станка в два раза больше, чем второго, и что вероятность изготовления детали высокого качества на первом станке 0,9, а на втором – 0,81. Изготовленные за смену на обоих станках нерассортированные детали находятся на складе. Найти вероятность того. Что наудачу взятая деталь окажется высшего качества.

Р е ш е н и е . Обозначим А событие, заключающееся в том. Что наудачу взятая деталь окажется высшего качества. Событие А может произойти с одной из следующих гипотез: - «деталь зготовлена на первом автомате», - «деталь зготовлена на втором станке».

Поскольку производительность первого станка в два раза больше второго, то

Из условия задачи следует, что

,

В соответствии с формулой (1.9.1), которая при n = 2 принимает вид

находим

П р и м е р 8 . На расприделительной базе находятся электрические лампочки,изготовленные на двух заводах. Среди них 60% изготовлено первым заводом и 40% - вторым. Известно, что из каждых 100 лампочек, изготовленных первым заводом, 95 удовлетворяют стандарту, а из 100 лампочек, изготовленных вторым заводом, удовлетворяют стандарту 85. Определить вероятность того, что взятая наудачу лампочка будет удовлетворять стандарту.

Р е ш е н и е . Обозначим через А событие, состоящее в том, что взятая наудачу лампочка является стандартной. Введем две гипотезы: - «лампочка зготовлена первым заводом», - «лампочка зготовлена вторам заводом».

Из условия задачи следует, что

,

В соответствии с формулой (1.9.1) при n = 2 получаем

П р и м е р 9 . Радиолампа может принадлежать к одной из трех партий с вероятностями: Вероятность того. Что лампа проработает заданное число часов, для этих партий соответственно равна: 0,9; 0,8; 0,7. Определить вероятность того. Что радиолампа проработает заданное число часов.

Р е ш е н и е . Введем обозначения: А – событие, заключающееся в том, что лампа проработает задание число часов; - гипотезы принадлежности лампы соответственно к первой, второй, третьей партии.

По условию задачи имеем:

,

Формула погной вероятности (1.9.1) при n = 3 принимает вид

В соответствии с этой формулой находим искомую вероятность

П р и м е р 10 . На предприятии изготовляются изделия определеннного вида на трех поточных линиях. На первой линии производится 30% изделий от общего обьема из производства, на второй – 25%, на третьей – остальная часть продукции. Каждая из линий характеризуется соответственно следующими процентами годности изделий: 97%, 98%, 96%. Определить вероятность того, что наугад взятое изделие, выпущенное предприятием, окажется бракованным.

Р е ш е н и е . Введем обозначение А –событие, состоящее в том, что наугад взятое изделие оказалось бракованным; - гипотезы производства изделия соответственно на первой,второй и третьей линях.

Прежде всего, отметим, что на третьей линии производится 45% изделий от общего обьема их производства. В соответствии с условием задачи имеем

,

Используя формулу погной вероятности (1.9.1) в случае n = 3, находим искомую вероятность

Вероятность того, что наугад взятое изделие окажется бракованным, равна 3,2%.

П р и м е р 11 . В язике содержатся одинаковые изделия, изготовленные двумя автоматами: 40% изделий изготовлено первым автоматом, остальные – вторым. Брак в продукции первого автомата состовляет 3%, второго – 2%. Найти вероятность того, что случайно выбранное изделие окажется бракованным.

Р е ш е н и е . Обозначим через А событие, состояшее в том. Что случайно выбранное изделие является бракованным; а через - события, состоящие в том, что это изделие зготовлено соответственно первым, вторым автоматом.

Из условия следует, что

, .

Формула (1.9.1) принимает вид

Подставляя в эту формулу соответствущие значение, получаем

П р и м е р 12 . Имеются три урны с шарами. В первой находится 5 голубых и 3 красных шара, во второй – 4 голубых и 4 красных, в третьей – 8 голубых. Наугад выбирается одна из урн и из нее наугад извлекается шар. Какова вероятность того. Что он окажется красным (событие А).

Р е ш е н и е . Шар может быть извлечен из первой урны, либо из второй, либо из третьей. Обозначим через соответственно выбор первой, второй и третьей урны.

Поскольку имеются одинаковые шансы выбрать любую из урн, то

Из условия задачи следует, что

, = =

В соответствии с формулой (1.9.1) находим искомую вероятность

Задачи

1. В пяти ящиках лежат одинаковые по размерам и весу шары. В двух ящиках( состава ) – по 6 голубых и 4 красных шара. В двух других ящиках (состава ) – по 8 голубых и 2 красных шара. В одном ящике (состава ) – 2 голубых и 8 красных шаров. Наудачу выбирается ящик и из него извлекается шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар оказался голубым?

2. На фабрике, изготовляющей болты, первак машина производит 30%, вторая – 25%, третья – 45% всех изделий. Брак в их продукции состовляет соответственно 2%, 1%, 3%. Найдите вероятность того. Что случаймо выбранный болт оказался стандартным.

3. Партия электрических лампочек на 25% зготовлена первым заводом, на 35% - вторам, на 40% - третьим. Вероятность выпуска бракованных ласпочек соответственно равны: , = 0,02, Какова вероятность того, что наудачу взятая лампочка окажется бракованной?

4. В группе 21 студент, в том числе 5 отличников, 10 хорошо упевающих и 6 занимающихся слабо. На предстоящем экзамене отличники могут получить только отличный оценки. Хорошо успеващие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки. Слабо занимающиеся студенты могут получить с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Для сдачи экзамена приглашаются наугад три студента. Найти вероятность того. Что они получат оценки: отлично, хорошо, удовлетворительно (в любом порядке).

5. На сборку попадают детали с трех автоматов. Известно, что первый автомат дает 0,2% брака, второй – 0,3% и третий – 0,4%. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступило 500, со второго – 1000 и с третьего – 1500 деталей.

6. Рабочий обслуживает 3 станка, на которых обрабатываются однотипные детали. Вероятность брака для первого станка равна 0,01, для второго - 0,02, для третьего – 0,03. Обработанные детали складываются в один ящик. Производительность первого станка в два раза больше, чем второго, а третьего в три раза меньше, чем второго. Какова вероятность того, что взятая наугад деталь будет бракованной?

7. На фабрике изготовляются изделия определенного вида на трех поточных линиях. На первой линии производится 45% изделий, на второй - 35%, на третьей – остальная часть продукции. Каждая из линий характеризуется соответственно следующими процентами годности изделий: 98%, 96%, 94%. Определить вероятность того, что наугад взятое изделие, выпущенное предприятием, окажется бракованным.

Ответы

1. 0,6. 2. 0,978. 3. 0,0185. 4. 0,11. 5. 0,003. 6. 0,015. 7. 0,035.