2.3. Спектри аналогових та дискретних сигналів

Для опису аналогових та дискретних сигналів у частотній зоні використовується апарат перетворення Фур'є.

Спектром аналогового сигналу називають пряме перетворення Фур'є

. (2.2)

У свою чергу, згідно з оберненим перетворенням Фур'є,

. (2.3)

Відповідна пара перетворень Фур'є для решітчастих функцій (дискретної послідовності) має вигляд:

, (2.4)

, (2.5)

де - спектр дискретного сигналу.

Виведення останніх двох формул (2.4), (2.5) із формул (2.2), (2.3) ґрунтується на використанні виразу дискретного сигналу у вигляді формули (2.1) і у властивості періодичності спектра.

Відмітимо ряд властивостей спектра дискретного сигналу:

1. Із формули 2.4 видно, що спектр дискретної послідовності є періодичною функцією на частоті w з періодом, який дорівнює частоті дискретизації .

2. 2. Очевидна властивість лінійності перетворення Фур'є.

3. При зсуві спектра послідовності уздовж осі частот праворуч на величину w₁ отримуємо спектр . Цьому спектру, згідно з формулою (2.5), відповідає послідовність . Тобто зсув спектра уздовж осі частот відповідає множенню послідовності на послідовність .

4. При зсуві дискретного сигналу праворуч (тобто при затримці за часом сигналу) на відліків отримаємо сигнал і, згідно з формулою (2.4), спектр затриманого сигналу дорівнюватиме .

5. Дискретний сигнал і модуль його спектра пов'язані такою залежністю (теорема Парсеваля):

.

6. Частота дискретизації визначається згідно з теоремою відліків (теоремою Котельникова). Згідно з цією теоремою, якщо аналоговий сигнал має обмежений спектр , тобто при , то такий сигнал можна однозначно (рис.2.6) зобразити послідовністю вибірок , =0, 1, 2, . . . , при , де .

2.4. Дискретне перетворення Фур'є (дпф)

Нехай - періодична послідовність з періодом , тобто , де – ціле число.

Дискретним перетворенням Фур'є називають пару взаємооднозначних перетворень:

(2.6)

(2.7)

де - основна частота перетворення.

Причому вираз (2.6) визначає пряме ДПФ, а формула (2.7) - обернене.

Введемо позначення для повертаючого множника

. (2.8)

Запишемо ДПФ та ОДПФ у формі таких виразів:

, (2.9)

. (2.10)

Якщо порівняти спектр кінцевого дискретного сигналу, визначеного формулою (2.4) (з урахуванням того, що =0 при і ), і ДПФ цього ж сигналу за формулою (2.9), то очевидно, що ДПФ являє собою - відліків спектра, узятих за період з інтервалом дискретизації із частотою, що дорівнює . Через це властивості ДПФ аналогічні властивостям спектрів.

2.5. Згортка дискретних сигналів

1. Кругова (періодична) згортка дискретних сигналів

Якщо і - періодичні послідовності з періодом , то послідовність

(2.11) також є періодичною, з періодом в відліків.

Операція обчислення (2.11) називається круговою (періодичною) згорткою послідовностей і .

Знайдемо ДПФ кругової згортки , якщо ДПФ послідовностей і відповідно дорівнюють і :

. (2.12)

Кругову згортку (2.11) можна обчислити, використовуючи ДПФ за таким алгоритмом:

- обчислити згідно з формулою (2.6) ДПФ і для послідовностей і ;

- обчислити згідно з формулою (2.12) ДПФ для згортки ;

- обчислити , використовуючи ОДПФ (2.7) за знайденим .