3.8. Стійкість та реалізованість дискретних фільтрів

Критерієм фізичної реалізованості лінійного дискретного фільтра є рівність нулю відліків імпульсної характеристики при негативних значеннях моментів відліків: =0 при .

У стійкій системі закінчується в усіх точках площини, де |z| 1, отже, передаточна функція не повинна мати особливих точок (полюсів) при z 1 (на одиночному колі і поза одиночним колом Z - площини). Таким чином, система буде стійка тільки тоді, коли усі полюси розташовуватимуться усередині одиночного кола Z - площини. Якщо дрібно-раціональна функція, то полюси визначаються нулями (коренями) багаточлена знаменника передаточної функції.

Приклад 4. Нехай , тоді у передаточній функції корінь знаменника z = 0,2<1. Тому фільтр є стійким.

Нехай . Корінь знаменника =1,2>1. Фільтр не стійкий.

4. Цифровi фільтри

4.1. Зображення I кодування чисел, помилки квантування

Під цифровим фільтром (ЦФ) розуміють дискретну систему, що описується рівнянням

(4.1)

i реалізується програмним шляхом на ЦЕОМ або апаратним шляхом у вигляді спеціалізованого цифрового обчислювального пристрою. Останнє являє собою сукупність ряду операційних пристроїв-регістрiв, суматорів, помножувачів, пристроїв керування.

Сигнали на вході й виході ЦФ (рис.4.1) є цифровими, тобто є послідовностями чисел.

Кожне з цих чисел зображується у вигляді двiйкового коду, й у ЦФ відповідно до алгоритму (4.1) виконуються операції пересилання, додавання, помноження кодів. Однак при цьому алгоритм функціонування реалізується неточно. Помилки цифрової фільтрації зумовлені, по-перше, квантуванням вхідних i вихідних сигналів (тобто зображенням їх вiдлiкiв числами з визначеним кінцевим числом розрядів); по-друге, кінцевою розрядністю операційних пристроїв (регістрів); по-третє, квантуванням коефіцієнтів фільтру

Внаслідок названих причин має місце округлення результатів. Тому при реалізації ЦФ треба враховувати поведінку згаданих помилок, якi часто називають помилками квантування. Це означає, що вибрана структура ЦФ, розрядність вхідних i вихідних сигналів, довжина регістрів арифметичних пристрої має бути визначена так, щоб помилки квантування не перевищували допустимої величини. Точність реалізації алгоритму (4.1) є важливим критерієм якості ЦФ.

Іншим важливим критерієм якості ЦФ є його швидкодія, що визначається часом , потрібним для обчислювання одного відліку вихідного сигналу. Очевидно, що має виконуватись умова £ , де - заданий період дискретизації сигналів. Для ЦФ, що працюють у реальному масштабі часу, наприклад, у системах зв’язку та керування, швидкодія є визначеним параметром. Підвищення швидкодії часто пов’язане з означеним математичним та програмним забезпеченням зі збільшенням апаратурних витрат (запровадження буферних регістрів для реалізації поточної обробки інформації, запровадження паралельної реалізації кількох операцій, тощо).

4.1.1. Зображення чисел

У цифрових пристроях найчастіше застосовують два зображення числа: із фіксованою та плаваючою комою.

При зображенні числа з фіксованою комою, у припущенні, що , кома розташована між першим i другим розрядами регістра числа, причому у першому розряді записується код знаку числа. Розрядна сітка, що містить двiйкових розрядів, дозволяє подати різних за абсолютною величиною чисел з кроком у діапазоні :

. ( 4.2 )

Приклад 1. Нехай .

Тоді (0; 0.125: 0.25; 0.375; 0.5; 0.625; 0.75; 0.875). Якщо значення числа виходить за верхню межу зазначеного діапазону (наприклад, у результаті виконання арифметичних операцій складання можемо отримати , відбувається переповнення розрядної сiтки й має місце викривлення результатів.

Зображення двiйкового числа з плаваючою комою задається співвідношенням

,

де і - числа без знака, якi називаються відповідно порядком i мантисою числа .

Приклад 2. Число =0,0101 може бути записане у вигляді , де μ =0.101, n=1.

У розрядній ситці числа - розрядів відводиться на зображення порядку числа та його знака, а розрядів - на зображення мантиси та її знака:

,

де m - загальне число розрядів.

Діапазон зображення значень чисел у формі з плаваючою комою на багато більший, ніж у формі з фіксованою комою. Однак, у пристроях цифрової обробки сигналів, що реалізуються у вигляді спеціальних обчислювачів, застосовується, як правило, зображення з фіксованою комою.