3. Зв'язок між z - перетворенням і Фур'є - перетворенням

З рівняння Z - перетворення (2.14) і Фур'є - перетворення (2.4) дискретних сигналів бачимо, що за умови збіжності відповідних рядів спектр дискретного сигналу можна отримати шляхом підстановки у Z - образ цього сигналу. Рівняння відповідає точці, що знаходиться на колі радіусом у комплексній Z - площині. Тому можна сказати, що спектр сигналу – це Z - образ, який розглядається в одиничному колі у Z - площині, тобто

.3. АЛГОРИТМИ ТА СТРУКТУРНІ СХЕМИ

Дискретних систем

3.1. Алгоритми дискретних фільтрів

У одномірній дискретній системі зв'язок між вхідним і вихідним сигналами і задається деяким оператором :

.

Важливим прикладом лінійних дискретних систем є дискретний фільтр, який можна описати лінійним різницевим рівнянням

, (3.1)

де - постійні дійсні числа;

;

- дійсні та комплексні коефіцієнти, що не залежать від вхідного й вихідного сигналів.

Враховуючи, що , перепишемо вираз (3.1) у такому вигляді:

(3.2)

Якщо хоч один коефіцієнт залежить від змінної , то формула (3.2) описує фільтр параметричний, тобто фільтр зі змінними параметрами. Як видно з формули (3.2), значення вихідної послідовності у момент визначається значенням вхідної послідовності у моменти , , і т.д., та значеннями самої вихідної послідовності у “минулі” моменти , і т.д.

Якщо відомі початкові умови , рівняння (3.2) дає можливість обчислити всі значення , тобто рівняння (3.2) визначає алгоритм обчислення вхідної послідовності. Фільтри, що описуються рівнянням (3.2), називаються рекурсивними (фільтрами зі зворотним зв'язком).

У окремому випадку, при із виразу (3.2) отримаємо

. (3.3)

Тобто в такому випадку значення вихідної послідовності у будь-який момент визначається тільки значенням вхідної послідовності в цей же момент і “попередніми” значеннями вхідної послідовності. Фільтри, описані рівнянням (3.3), називаються нерекурсивними (фільтрами без зворотного зв'язку).

3.2. Розв'язання різницевих рівнянь

Z - перетворення є зручним апаратом для розв'язання різницевих рівнянь з постійними коефіцієнтами. Нехай зв'язок послідовностей і , описується різницевим рівнянням (3.1). Застосовуючи Z - перетворення до обох частин рівняння (3.1) і враховуючи властивості лінійності й зсуву, знаходимо

(3.4)

де і відповідно Z - образи функцій і .

Із формули (3.4) знаходимо

. (3.5)

Застосовуючи методи зворотного Z - перетворення, визначимо за відомою послідовність .

Приклад 1. Нехай маємо різницеве рівняння

,

де .

Застосовуючи Z - перетворення до обох частин рівняння, отримаємо:

.

Звідки

.

Якщо, наприклад, , то =1.

Тоді

.

Згідно з виразом (2.20), отримаємо .

3.3. Передаточні функції

Передаточною функцією лінійної дискретної системи фільтра називають відношення

, (3.6)

де - Z - зображення вхідної послідовності системи , а – Z - зображення вихідної послідовності системи при нульових початкових умовах.

Приклад 2. Нехай ={1,0,1,2}, ={0,1,2,3}. При цьому .

Отже, передаточна характеристика відповідної системи буде:

.

Передаточна характеристика рекурсивного дискретного фільтра, описаного рівнянням (3.2), матиме такий вигляд:

(3.7)

де постійні коефіцієнти (припускається, що ).

Передаточна характеристика нерекурсивного фільтра, описаного рівнянням (3.3), така:

(3.8)