Свойства операций над случайными числами

1. Свойство коммутативности:

2. Свойство ассоциативности:

3. Свойство дистрибутивности:

Задачи

1. Дано 30 карточек с номерами от 1 до 30. Какова вероятность того, что число на вынутой карточке кратно 5.

2. Какова вероятность того, что в наудачу выбранном двузначном числе цифры одинаковы?

3. Подбрасывается 2 игральных кубика. Найти вероятность того, что на обоих кубиках выпало одинаковое число очков.

4. В урне лежат 5 красных, 12 белых и 9 синих шаров. Найти вероятность того, что наугад выбранный шар окажется белым.

5. В урне 3 черных и 4 белых шара. Берём 2 шара и кладем обратно. Какова вероятность, что оба шара чёрных?

Геометрическая вероятность

Под геометрической вероятностью понимают попадание точки в область.

(когда маленький отрезок l находится на большем отрезке L).

(маленькое пространство g в большом пространстве G).

Статистическая вероятность

Под статистической вероятностью понимают относительную частоту появления события.

Относительная частота события - отношение числа испытаний, в которых это событие появилось, к числу всех фактически произведенных испытаний.

m - число испытаний, в которых это событие появилось, n - число всех испытаний.

Пример:

A - "поражение цели"

W(A) = 19/24 (попали 19 раз из 24 попыток)

В отличии от классической вероятности, относительная частота должна сопровождаться опытом.

Эксперимент с монеткой

Число бросков	Число орлов	Относит. частота	Отклонение от вероятности
4040	2048	0,5069	0,0069
10000	4979	0,4979	0,0021
12000	6019	0,5016	0,0016
20000	12012	0,5005	0,0005

Основные теоремы теории вероятностей Теорема 1.

Вероятность произведения двух событий A и B равна произведению вероятности события A на условную вероятность события B, вычисленную при условии, что событие A имело место.

P(AB) = P(A) * P(B|A) - для зависимых событий

P(AB) = P(A) * P(B) - для независимых событий

P(A₁, A₂ ... A_n) = P(A₁) * P(A₂|A₁) * P(A₃|A₁A₂) * ... * P(A_n|A₁...A_n)

Пример:

Механизм собирается из трёх одинаковых деталей и считается неработоспособным, если все 3 детали вышли из строя. В цехе осталось 15 деталей из которых 5 бракованных. Какова вероятность, что собранный из этих деталей механизм будет неработоспособным?

A1 - "1 брак."

A2 - "2 брак."

A3 - "3 брак."

P(A₁A₂A₃) = P(A₁) * P(A₂|A₁) * P(A₃|A₁A₂) = 5/15 * 4/14 * 3/13 = 0,022

Лекция 2 (10.09) Теорема 2.

Вероятность суммы двух случайных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения.

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - для совместных событий

Доказательство:

A : AB или AḂ(с чёрточкой) P(A) = P(AB) + P(AḂ)

B : BA или BȦ(с чёрточкой) P(B) = P(BA) + P(BȦ)

A + B : AB или AḂ или BȦ

P(A + B) = P(AB) + P(AḂ) + P(BȦ) = P(AB) + P(A) – P(AB) + P(B) – P(BA) = P(A) + P(B) – P(AB); что и требовалось доказать

P(A + B) = P(A) + P(B) - несовместное событие

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(A) * P(B) - совместное независимое

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(A) * P(B|A) - совместное зависимое

Пример:

Производится два независимых выстрела в одну мишень. Вероятность попадания при первом выстреле 0,6, а при втором - 0,8. Найти вероятность попадания в мишень при двух выстрелах.

Решение:

A - "попадание при 1 выстреле"

B - "попадание при 2 выстреле"

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(A) * P(B) = 0,6 + 0,8 - 0,6 * 0,8 = 0,92

Определение: Попарно несовместные случайные события образуют полную группу, если в результате испытания произойдёт только одно из них.