Статистические критерии

Статистическая гипотеза – это предположение о свойствах случайных величин, проверяемое на статистических данных.

Статистические гипотезы

Направленные Ненаправленные

Нулевая Альтернативная Нулевая Альтернативная

H₀ гипотеза (экспериментальная)

Нулевая гипотеза (H₀) – это гипотеза об отсутствии различий (это то, что мы хотим опровергнуть).

Альтернативная гипотеза (H₁) – это гипотеза о значимости различий (это то, что мы хотим доказать)

Направленные:

H₀: параметр выборки 1 (B₁) не превышает параметр выборки 2 (B₂).

H₁: параметр выборки 1 (B₁) превышает параметр выборки 2 (B₂).

Ненаправленные:

H₀: параметр выборки 1 (B₁) не отличается от параметра выборки 2 (B₂).

H₁: параметр выборки 1 (B₁) отличается от параметра выборки 2 (B₂).

Статистический критерий – это решающее правило, позволяющее принять истинную гипотезу и отклонить ложную с высокой вероятностью.

σ эмпирическое

σ критическое

В большинстве случаев если σ эмп. ≥ σ крит., тогда нулевая гипотеза (H₀) – отклоняется.

Для определения критического значения необходимо знать объём выборки (n) или число степеней свободы (df).

условие ограничение

Число степеней свободы – это количество значений, которые могут свободно изменяться после того, как по выборке будет вычислено значение статистики.

Лекция 6 (08.10) Уровень значимости

Уровень значимости – это вероятность того, что мы посчитали различия значимыми в то время, как они оказались случайными.

Ошибка I рода – это ошибка, заключающаяся в том, что мы отклонили нулевую гипотезу в то время, как она оказалась верна. (α)

α = 0,05; α = 0,01; α = 0,001

достаточный уровень значимости высокий уровень значимости

Ось значимости

Алгоритм отклонения нулевой гипотезы:

1. Если эмпирическое значение критерия больше или равно ≥ его критического значения на уровне значимости α = 0,01, то нулевая гипотеза отклоняется и принимается альтернативная.

2. Если эмпирическое значение критерия больше или равно ≥ его критического значения на уровне значимости α = 0,05, то нулевая гипотеза отклоняется, но мы ещё не можем принять альтернативную.

1 – α = это вероятность верного решения

Мощность критерия

Ошибка II рода – это ошибка, заключающаяся в том, что мы приняли нулевую гипотезу в то время, как она оказалась неверной. (β)

1 – β = мощность критерия, то есть вероятность не допустить ошибку II рода

Критерии

Параметрические Непараметрические

Более мощные	Простота
Обрабатывают нормально распределённые случайные величины	Универсальность

Параметрические критерии - в формулах расчёта используют параметры распределения случайной величины.

Непараметрические критерии – в формулах расчёта не используют параметры распределения, то есть они простые.

Закон больших чисел

1. Теорема Бернулли:

Если в n-испытаниях событие A появилось с вероятностью P, то при n→∞ относительная частота появления события A стремится к вероятности P.

2. Теорема Чебышева:

Если случайная величина принимает ряд значений x₁, x₂, … x_n, то при n→∞ среднее выборочное стремится к её математическому ожиданию.

3. Центральная предельная теорема:

Если существуют несколько случайных величин с одинаковым распределением, одинаковым математическим ожиданием и дисперсией, то закон распределения их суммы стремится к нормальному закону распределения при n→∞.