Основные правила комбинаторики

1. Правило суммы

Пусть некоторый объект A может быть выбран n-способами, а объект B - m-способами. Выбрать объект A или B можно n+m-способами.

Пример:

5 красных, 5 белых и 7 розовых цветов. Сколько комбинаций?

Решение:

A = {1,2,3,4,5}

A : Кратный 2 → {2,4}; m=2

B : Кратный 3 → {3}; n=1

В случае повторений, формула, определяющая правило суммы:

(где k - число повторений).

A = {1,2,3,4,5,6}

A : {2,4,6}; m=3

B : {3,6}; n=2

2. Правило произведения

Если объект A может быть выбран n-способами, а объект B - m-способами, то выбрать пару AB можно n*m-способами.

Пример:

Сколько существует целых 4-значных чисел, не делящихся на 5?

Решение:

Лекция 3 (17.09)

Задача.

У американцев принято давать детям несколько имён. Сколькими имена можно назвать ребёнка, если есть всего 300 вариантов, а максимальное количество – 3?

Решение.

Всего три варианта распределения:

1. Из одного слова

2. Из двух слов

3. Из трёх слов

Метод включений и исключений

Пусть имеется N объектов, каждый из которых может обладать каким-нибудь из свойств . Каково число объектов, обладающих одним свойством .

- количество объектов, не обладающих ни одним из свойств

– формула включений и исключений

Пример:

Из 40 студентов – 32 изучают английский язык, 21 – немецкий язык, а 15 – английский и немецкий. Сколько студентов не изучают ни английский, ни немецкий?

N = 40

N(англ.) = 32

N(нем.) = 21

N(англ. + нем.) = 15

N(англ.’ и нем.’) = ?

Связь комбинаторики с теорией вероятностей

Задачи

1. В колоде 36 карт, вынимаем 3 карты. Какова вероятность того, что среди них окажется ровно 1 валет.

Решение:

A = «среди трёх карт 1 валет»

2. Замок имеет 4-х-значный цифровой шифр. Наугад выбирают 4 цифры. Какова вероятность открыть замок, если в коде все цифры различны?

Решение:

Формула полной вероятности

Пусть событие A может произойти только как следствие некоторых событий H₁, H₂

... H_n, образующих полную группу и называемых гипотезами.

Известны вероятности гипотез P(H_i); i = 1, ... n и условные вероятности появления события A с каждой из гипотез.

P(H_i); i = 1, ... n (изменяется от первого доп.), тогда вероятность появления события A задаётся формулой полной вероятности.

формула полной вероятности

Задача.

Имеются 3 одинаковые урны. В первой находятся 2 белых и 1 чёрный шар, во второй - 3 белых и 1 чёрный, в третьей - 2 белых и 2 чёрных шара. Из выбранной наугад урны выбираем 1 шар. Какова вероятность того, что он окажется белым?

Решение.

I	II	III
2 б., 1 ч.	3 б., 1 ч.	2 б., 2 ч.

Формула Байеса

Позволяет определить вероятность возникновения гипотезы H, при условии, что событие A произошло.

Законы распределения случайных величин

Закон распределения - это правило, позволяющее определить вероятность попадания случайной величины в заданный интервал.

1. Табличный закон (только для дискретных значений)

x	x1	x2	...	xn
P	P1	P2	...	Pn

Пример:

x	-3	0	1	3	4
P	0,3	0,2	0,1	0,3	0,1

2. Интегральная функция распределения - F(x) (как дискретные, так и непрерывные случайные величины)

Функция распределения F(x) для непрерывных случайных величин:

Пример:

Найти вероятность того, что x попадёт в интервал от 0 до 1.

3. Дифференциальная функция распределения (плотность распределения) - для непрерывной случайной величина