2.9 Система линейных однородных уравнений

Система линейных однородных уравнений

'a _{1 1} x ₁ + a12x2 + ... + a1nxn = 0,

a21x1 + a_{2 2}x2 + . . . + a2nx_n = 0,

(2.6)

всегда имеет нулевое решение x1 = 0, x2 = 0, ..., x_n = 0, называемое тривиальным.

Теорема 7. Однородная система имеет ненулевое решение тогда и толвко тогда, когда ранг ее матрнтщ строго менвгие сила неизвестных: rang A < n.

Если в системе уравнения линейно независимы, то условие rang A < n означает, что число уравнений строго меньше числа неизвестных.

Теорема 8. Если x = (x1,x2, . . . ,x_n) — решение однородной системы, то αx = (αx1,αx2,..., αx_n) — такуке решение.

Если x = (x1, x2,..., x_n) и y = (y ₁, y2, . . ., y_n) — рсшсния однородной системы, то их сумма x + y = (x1 + y1, x2 + y2, . . ., x_n + y_n) ~ такуке решение.

Линейная комбинация решений — снова решение.

Набор решений e1, e2, ..., ek однородной системы называют фундаментальной системой решений, если 1) они линейно независимы и 2) любое решение является их линейной комбинацией. Поэтому общее реиаение системы (2.6) имеет вид

C₁e₁ +C₂e₂

C_ke_k.

Теорема 9. Всякая фундаменталвная система решений состоит из k = n-r решений, где n — число неизвестнв1х, а r = rang A.

Задача 12. Решить однородную систему

-y +2z -2u = 0, -2y +5z -6u = 0, -3y +8 z -5u = 0;

Решение. Составим расширенную матрицу:

1	-1 2	-2	0
2	-2 5	-6	0
3	-3 8	-5	0

Выполним элементарные преобразования прямого хода:

1	-1 2	-2	0
2	-2 5	-6	0
3	-3 8	-5	0

1	-1 2	-2	0
0	01	-2	0
0	02	1	0

August 31, 2013 Курбатов В.Г.

28

1	-1 2	-2	0
0	01	-2	0
0	00	5	0

1	-1 2	-2	0
0	01	-2	0
0	00	1	0

в качестве базисных неизвестных возьмем х, z и и, & в качестве свободной Выполним обратный ход:

1	-1 2	-2	0
0	01	-2	0
0	00	1	0

1	-1 0	0	0
0	01	0	0
0	00	1	0

Вернемся от расширенной матрицы к системе уравнений, одновременно обозна­чим свободную неизвестную y через С и перенесем ее вправо:

Ответ: х = С, y = С, z = 0, и = 0.