4.5 Ортогональные векторы

Векторы x ¯ = (x1; x2; . . .; x „) и y ¯ = (y ₁; y ₂; . . .; yп) называют ортогональными, если

{x ¯,y ¯) = 0.

Теорема 24. Любая система, состоящая из ненулевых попарно ортогональных век­торов является линейно независимой.

Базис, состоящий из иоиарио ортогональных векторов называют ортогональным. Если векторы базиса дополнительно нормированы, то базис называют ортонорми-рованным.

Теорема 25. Всякий набор ненулевых иоиарио ортогональных векторов (в конеч­номерном евклидовом иространстве) моукно расгиирить до ортогонального базиса. В частности, ортогональные базисы существуют.

Теорема 26. Координаты вектора x ¯ в ортонормироваином базисе e ¯₁, e ¯₂, ..., e ¯„ сов­падают с числами

Глава 5

Линейные операторы

5.1 Понятие линейного оператора

Рассмотрим два линейных пространства X и Y. Оператором, действующим из X в Y, называют любое правило A, которое каждому ж X сопоставляет y ¯ ∈ Y. Вектор y ¯ = Ax ¯ называют образом вектора x ¯, а вектор x ¯ ∈ рообразом вектора y ¯.

Оператор называют линейным, если выполнены два свойства:

A( x ¯1 + x ¯2) = Ax1 + Ax ¯2, A (αx ¯) = αAx ¯.

Основной ПРИМЕР. Пусть X = Y = Еⁿ. Возьмем произвольную матрицу:

' a11 a12 . . . a1n \

a21 a₂₂ . . . a2_n A= ,

\a_{n 1} a_n 2 . . . a_nn

Очевидно, привило

y ¯ = Ax ¯,

где y ¯ я x ¯ записаны в виде столбцов, определяет линейный оператор. Отметим, что

E_{n i}=1 aijxj.

5.2 Матрица линейного оператора

в дальнейшем будем считать, что X = Y. Рассмотрим в X базис e¯₁, e ¯2, . Разлож;им векторы Ae ¯₁, Ae ¯2, . . ., Ae ¯ _n по базису:

e ¯.

Ae ¯j = a1je ¯₁ + a2je ¯2 + ... anje ¯n = 2_j

i=1

a_ije¯_i.

(5.1)

A=

a₁₁ a₁₂ ... a_1n a₂₁ a₂₂ ... a_2n

an1 an2

n

August 31, 2013 Курбатов В.Г.

42

Возьмем произвольный вектор x ¯ и разлоясим его по базису:

x ¯ = x1e ¯₁ + x2e ¯2 + + x_ne ¯ _n = ^

j=1

x_je¯_j.

Применим к этому равенству оператор A и воспользуемся соотношением (5.1):

^{n n}

y ¯ = Ax ¯ = A / x je ¯j = У x j Ae ¯ _i

j=1

^{n n}

= ^ ^ xj у ^ aije ¯i = ^ ^ / ^ aijxje ¯i j=1 i=1 j=1 i=1

n n n n n

i=1 j=1 i=1 j=1 i=1

где yj = Y^_{ni = 1}aijxj. Замечая, что это правило умножения матрицы A на столбец x ¯, приходим к теореме.

Теорема 27. Координаты вектора y ¯ = Ax ¯ выражаются через координаты вектора x ¯ но формуле

(y1\ fx ₁\

x2

nn

j=1

y₂

..

y_n

=A

x_n

Или сокращенно

Y = AX.

Матрицу A называют матрицей оператора A в данном базисе.

Рангом оператора A называют ранг ее матрицы.

Суммой операторов A и В называют оператор, действующий по правилу

{A + В)x ¯ = Ax ¯ + Вx ¯.

Произведением операторов A и В называют оператор, действующий по правилу

{AВ)x ¯ = A{Вx ¯).

Теорема 28. Сумме и ироизведению операторов соответствуют сумма и произведе­ние их матриц.

Нулевым называют оператор, который все векторы переводит в ноль. Ему соот­ветствует нулевая матрица.

Тоснсдественным называют оператор, который все векторы переводит в себя. Ему соответствует единичная матрица.

August 31, 2013 Курбатов В.Г. 43