Глава 6

Квадратичные формы

6.1 Определение квадратичной формы, ее матрица

Квадратичной формой называют функцию n неременных, имеющую вид

i=1 j=1

a_ijx_ix_j.

Здесь aij — заданные числа, называемые коэффициентами. Моясно считать, что a aji. Пример:

ij

L(x1,x2,x3) = 2x²₁ ~ 5x1x2 + 4x ²2 — 7x²₃ + 2 x1x3 — 8x2x3.

Матрицу A, состоящую из коэффитщентов a_ij, называют матрицей квадратичной формы.

Задача 27. Дана квадратичная форма

L(x1,x2) = 3x²₁ ~ 5x1x2 + 4x ²₂.

Выписать ее матрицу.

Решение. Запишем квадратичную форму в симметричном виде: L(x1,x2) = 3x²₁ — ⁵x1x2 — ⁵x2x1 + 4x2- Теперь легко написать матрицу:

A

⁵₂ 4

Теорема 31. Всякую квадратичную форму моукно представить в матричном виде

L = X'AX,

где

X=

x1

x2

И. обратно, всякая функция вида L = X'AX является квадратичной формой.

August 31, 2013 Курбатов В.Г.

46

Доказательство. Имеем

X'AX = (x1 x2 ... x_n

a21 a 22

an1 an2

a1n a2n

x₁ x₂

x_n

_ЕЕ

i=1 j=1

a_ijx_ix_j.

Пусть столбцы переменных

X

x1

x2 x_n

Y

y ₁

y2 y_n

связаны линейным преобразованием X = CY, где C — матрица, состоящая из за­данных чисел cij. Выполняя в представлении L = X'AX замену X = CY, приходим к представлению

L = X'AX = (CY)'ACY = Y'C'ACY = Y'(C'AC)Y.

Видно, что получилась квадратичная форма относительно переменных y ₁, y2, ■ ■ ■, y_n, имеющая матрицу CAC . Тем самым доказана

Теорема 32. При линейной замене X = CY матрица квадратичной формы преоб­разуется по правилу

A = C AC.

Если матрица C невырождена (т. е. det C = 0), то ранги матриц A я A = CAC совпадают. Ранг этих матриц называют рангом квадратичной формы.

Пример 26. Мы знаем, что ранг единичной матрицы

равен 3. Эта матрица порождает квадратичную форму L = x²₁ + x2 + x²₃ ранга 3.

6.2 Канонический вид и закон инерции

Говорят, что квадратичная форма имеет канонический вид, если ее матрица яв­ляется диагональной. В этом случае

L = a₁₁x²₁ +a₂x²₂ +···+a_nnx²_n.

August 31, 2013 Курбатов В.Г. 47

Теорема 33. Любая квадратичная форма с помощью невыроукденного преобразо­вания X = CY приводится к капопическому виду.

Доказательство. Проведем на примере:

L = x²₁ - 6x1x2 + 8x1x ₃ + 5x2 - 16x2x3 + 10x²₃ = = x ²₁ + 2x1(-3 x2 + 4x ₃) + 5x² - 16x2x3 + 10x²₃ =

x1 + (-3x2 + 4x3)) -

- 3 x2 + 4x3)2 + 5x2 - 16x2x3 + 10 x ²₃ =

x1 - 3x2 + 4x ₃) - 4x²₂ + 8x2x3 - 6x ²3

x1 - 3 x2 + 4x ₃) - 4(x ²2 - 2x2x3) - 6x²₃ x1 - 3x2 + 4x ₃) - 4(x2 - x₃)² + 4x ²₃ - 6 x3

x1 - 3 x2 + 4x ₃) - 4(x2 - x₃)² - 2 x ²₃.

Видно, что замена y ₁ = x ₁ - 3x2 + 4x3, y2 = x2 - x3, y4 = x3 (с треугольной матрицей) приведет квадратичную форму к каноническому виду. П

Одна и та же квадратичная форма может быть преобразована к различным ка­ноническим видам. Общим во всех этих представлениях является только свойство, описываемое в следующей теореме.

Теорема 34 (закон инертщи). Число слагаемых с полоукительными (отрицатель­ными, пулевыми) коэффициентами пе зависит от способа приведения квадратичной формы к каноническому виду.

Следствие 35. Ранг квадратичной формы равен числу ненулевых слагаемых в лю­бом ее каноническом нредставленип.

6.3 Знакоопределенные квадратичные формы

Из формулы

^{n n}

L = у ^ у ^ aijxixj.

i=1 j=1

ВИДНО, что при x1 = x2 = • • • = x_n = 0 любая квадратичная форма L равна нулю. Квадратичную форму называют

Ф положительно определенной, если

L(x1, x2, . . ., x_n) > 0,

при условии, что вектор (x1,x2,... ,x_n) отличен от нуля,

Ф отрицательно определенной, если

L(x1,x2,... ,x_n) < 0,

если хотя бы один аргумент x1, x2, ..., x_n отличен от нуля,

August 31, 2013 Курбатов В.Г.

48

Ф знакопеременной, если она принимает как положительные, так и отрицатель­ные значения.

Очевидно, факт знакоонределенности не меняется при замене переменных X = CY. Для канонической формы

L = a11x²₁ + a2x ²2

+ anrix.

положительная (отрицательная) определенность, очевидно, означает, что все коэф­фициенты aц положительны (отрицательны). А знаконеременность — что есть как положительные, так и отрицательные коэффициенты.

Теорема 36. Для того чтобы квадратичная форма была полож.ителвно (отрица-телвно) определенной, необходимо и достаточно, чтобы все собственивте значения ее матрицы бв1ли нолож.ителвнв1ми (отрнцателвивтми).

Теорема 37 (критерий Сильвестра). Для того чтобы квадратичная форма была иолоукителвно оиределенной, необходимо и достаточно, чтобвт все главивхе минорв!

∆1 = a11, ∆2

a11 a12 a21 a22

∆

a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

ее матритщ бвтли иолож.ителвнв1.

Задача 28. Доказать, что квадратичная форма L = 13 x ²₁ — 4x1x2 + 7x²₂ положительно определена.

Решение. Выпишем матрицу квадратичной формы:

I. Собственные значения этой матрицы равны 5 и 15. Поэтому по теореме 36

квадратичная форма полож;ительпо определена.

П. a₁₁ = 13 > 0, тельпо определена.

13 —2

75 > 0. По теореме 37 квадратичная форма положи-

2 7