2.7 Несовместная система

Задача 9. Решить систему

x1 +x2 + x3	= 1,
x1 + x2 + 2x3	= 1,
x1 + x2 + 3x3	= 2.

Решение. Выполним элементарные преобразования прямого хода:

1	11	1
0	01	0
0	02	1

1	11	1
0	01	0
0	00	1

Поскольку ступенчатая матрица получена, применяем два правила, см. с. 21 и 22. Вывод 1: поскольку в последней строке до черты стоят только нули (а после черты есть ненулевой элемент), система несовместна, т. е. не имеет решений. П

Вновь рассмотрим систему обш,его вида (2.5). Обозначим через A матрицу систе­мы (2.5), а через D — расширенную матрицу.

Теорема 6 (Теорема Крбнекера-Капёлли). Если

rangD > rangA, то система (2.5) несовместна, т. е. не имеет решений. Если же rangD = rang A, то система (2.5) совместна, т. е. имеет решения.

August 31, 2013 Курбатов В.Г. 25

Пример 24. Вернемся к системе уравнений, рассмотренной в задаче 9. После преоб­разований мы получили расширенную матрицу

1	11	1
0	01	0
0	00	1

Видно, что rangD > rang A (см. теорему 1). Поэтому система несовместна.

Доказательство. Вернемся к ситуации, возникающей после окончания прямого хода метода Гаусса.

Если последняя ненулевая строка (имеющая для определенности номер r) матри­цы D имеет вид

(0 0 ... 0 I b_r),

где b_r = 0, то решений нет (система несовместна). По в этом случае но теореме 1 rangD = r, а rang A = r — 1. Таким образом, rangD > rang A.

Если же последняя ненулевая строка (имеющая для определеппости номер r) матрицы D имеет вид

(0 0 ... a_rk a_{r k} +1 . . . I b_r ) ,

где a_rk = 0, то, как мы увидим ниясе, решения есть (система совместна). Но в этом случае но теореме 1 rangD = r и rang A = r. Таким образом, rangD = rang A. П

2.8 Неопределенная система

Обсудим подробнее второй возмоясный случай, возникший после окончания пря­мого хода метода Гаусса: имеются длинные ступеньки. Покаясем, что в этом случае система совместна, т. е. имеет решения но является неопределенной. Мы сделаем это путем предъявления алгоритма нахождения решения.

Неизвестные, соответствующие столбцам, на которых располож;ены начала сту­пенек, называют базисными, а остальные неизвестные — свободными. Вернемся от расширенной матрицы к системе уравнений. Свободные неизвестные обозначим про­извольными буквами, например, C ₁, C ₂, ...; это означает, что им позволяется при­нимать любые значения. Получится система относительно базисных неизвестных. Решая ее, получаем выраж;ения базисных неизвестных через C ₁, C ₂, ....

Решение, в котором все C ₁, C ₂, .. .равны нулю, называют базисным.

Таким образом, в этом случае решений оказывается бесконечно много — при каж­дом новом выборе C1, C2, ... получается новое решение. Еще раз подчеркнем, что свободные неизвестные, а с ними и бесконечное множество решений появляются толь­ко в том случае, когда есть "длинные" ступеньки.

Задача 10. Решить систему

x+2y+ z=	1,
x + 2y + 3z =	1,
x+2y- z=	1.

August 31, 2013 Курбатов В.Г.

26

Решение. Преобразуем расширенную матрицу системы в соответствии с методом Гаусса. Прямой ход:

12	1	1
00	2	0
00	-2	0

1	2	1	1
0	0	2	0
0	0	0	0

Обратный ход:

1	21	1
0	02	0
0	00	0

121 001

120 001

Поскольку в последней ненулевой строке есть ненулевое число до черты, система совместна. По поскольку есть "длинная" ступенька, решений бесконечно много. В соответствии с видом полученной ступенчатой матрицы в качестве базисных неиз­вестных возьмем x и z, а в качестве свободной — y.

Обозначая свободную неизвестную y через C и перенося ее вправо, приходим к системе уравнений

x + 2y

= 1, z = 0,

2C,

относительно x и z.

По сути это уже готовый ответ: x = 1 — 2C, y = C, z = 0, где C — произвольное число. Подчеркнем, что при различных C будут получаться разные решения. Так, например, при C = 0 имеем x = 1, y = 1, z = 0. При C = 1 получаем x = —1, y = 1, z = 0. А при C = 3 имеем x = —5, y = 3, z = 0. П

Задача 11. Решить систему

x+2y+ z =	1,
x+2y+ z =	1,
2x + 4y + 2z =	2.

Решение. У этой системы матрицы A и D имеют одинаковые 1-ю и 2-ю строки, а 3-я строка пронорциональна 1-й. Поэтому после преобразований по методу Гаусса мы приходим к расширенной матрице, содерж;аш,ей единственную ненулевую строку

121

1

или, что эквивалентно, к единственному уравнению

x

2y

1.

Очевидно, оно имеет бесконечно много решений. Чтобы их найти, в соответствии с нашим правилом в качестве свободных неизвестных примем y и z, а в качестве базисной — x. Положим y = C1, z = C2 я перенесем их в правую часть уравнения. В результате получим x = 1 — 2C1 — C2. Таким образом, все решения задаются формулами x = 1 — 2C1 — C2, y = C1, z = C2, где C1 и C ₂ — произвольные числа. Отметим базисное решение: x = 1, y = 0, z = 0. П

August 31, 2013 Курбатов В.Г.

27