1.11 Метод элементарных преобразований вычисления ранга

в § 1.9 уж;е отмечалось, что элементарные преобразования сохраняют свойство определителя быть отличным от пуля. Поэтому элементарные преобразования не меняют такж;е и ранг матрицы. Таким образом, метод элементарных преобразований моясет быть применен и к нахождению ранга. Это делается с помощью приводимой пиж;е теоремы.

Матрицу называют ступенчатой, если каждая ее строка начинается со строго большего числа нулей, чем предыдущая. Ненулевые элементы а^- ступенчатой мат­рицы A, левее которых стоят только нули (а также места, на которых они находятся), называют началами ступенек. Пример 15. Пример ступенчатой матрицы:

/8 10 3 1 5 \

0 6 4-20-3

0 0 0 0 4-2

0 0 0 0 0 0

August 31, 2013 Курбатов В.Г. 13

Теорема 1. Ранг ступенчатой матрицы равен числу ненулевых строк в ней.

Преобразовать матрицу к ступенчатому виду можно с помощью элементарных преобразовапий.

Задача 2. Найти ранг матрицы

A = Решение. Приведем матрицу к ступенчатому виду:

Получеппая матрица является ступенчатой: начала ступенек образовались на местах элементов a₁₁ и a22- В силу теоремы 1 получаем, что rang A = 2. П

1.12 Обратная матрица и ее нахож:дение методом присоединенной матрицы

Пусть A — квадратная матрица, а E — единичная матрица того ж;е размера. Матрицу B называют обратной к матрице A, если AB = EжBA = E. Обратную матрицу обозначают символом A-¹. Таким образом, ·о определе·ю имеем

AA^-1 = A^-1A = E.

1 2 Пример 16. Для A = 1 1 обратной является

1/3 1/3 1 2\ /1/3 -2/3

A-1=/1/3 -2/3

Действительно,

A · A

1 1 1/3 1/3

1·(1/3)+ 2·(1/3) 1·(-2/3) + 2·(1/3) 1 0

1 · (1/3) + 1 · (1/3) - 1 · (-2/3) + 1 · (1/3) 0 1

Нетрудно такясе проверить, что и A-1 · A = E.

Теорема 2. Квадратная матрица A имеет обратную тогда и только тогда, когда ее определитель |A| отличен от пуля.

Доказательство. Если A имеет обратную, то E = A A-1, откуда по свойству 10 определителей имеем 1 = jE! = |A · A^-1| = \А\ \А~1\, от·уда видно, что |A| = 0.

В качестве доказатель|| в обратную || · |у |ишем алгоритм построения об­ ратной матрицы для случая, когда |A| = 0. П

August 31, 2013 Курбатов В.Г. 14

Алгоритм построения обратной матрицы.

1. Вычисляем \A\. Если \A\ = 0, то ио доказанному A-1 не существует, и вычис­ления на этом заканчиваются. Если \A\ = 0, то переходим к этану 2.

2. Выписываем трапсиопированпую матрицу A.

3. Составляем матрицу A ˆ, состоящую из алгебраических дополнений элементов матрицы A. Матрицу A называют присоединенной к матрице A.

4. Выписываем ответ по формуле A-¹ = щA.

5. Делаем проверку: проверяем равенства A ■ A^-1 = E я A-1 ■ A = E.

Пример 17. Найдем обратную к матрице

A

Решение. 1. Вычисляем \A\. Имеем \A\ = -2. 2. Выписываем транспонированную матрицу:

A'

A' 3. Вычисляем ирисоединенную матрицу:

11

I 1 3

1 1 I

1 3 I

I 11 11

A =

Сформулируем правило расстановки знаков в присоединенной матрице. Элемен­ты, стоящие на главной диагонали, берутся со знаком "плюс", а остальные знаки расставляются в шахматном порядке. 4. Выписываем ответ:

A-1 =

5. Проверяем:

AA-1 =

1 1 3 -¹₂ 0 ¹₂ 0 0 1

п