2.4 Метод обратной матрицы

Рассмотрим квадратную систему из n уравнений с n неизвестными

' a _{1 1} x ₁ + a12x2 + ... + a1nxn = b1,

a21x1 + a_{2 2}x2 + . . . + a2nx_n = b2,

(2.4)

an1x1 + a_n2x2 + . . . + a_nnxn = bn.

В соответствии с § 2.3, запишем систему в виде A- X = B.

Теорема 5. Пусть матрица A имеет обратную. Тогда решение уравнения A- X = B МОЖ.НО находить по формуле

X = A^-1B.

Вычисление решения но этой формуле называют методом обратной матрицей.

Доказательство. Умножим обе части равенства

A- X = B на A-¹. Получим A^-1 ■ A- X = A^-1 ■ B, или (поскольку A^-1 ■ A = E) E ■ X = A-1B или (поскольку E ■ X = X)

X = A^-1B.

Пример 22. Рассмотрим систему

x+y+ z =2,

2x + y + 4z = 5,

x+y +3z = 6

или в матричной заниси

Из примера 17 известно, что

A^-1 =

Поэтому

Иными словами, x = —3, y = 3, z = 2.

August 31, 2013 Курбатов В.Г. 20

2.5 Матричные уравнения

Прием, описанный в § 2.4, позволяет решать и более слоясные матричные урав­нения.

Задача 6. Решить матричное уравнение XA = B, где

Решение. Умножая уравнение XA = B справа на A^- ^, получаем формулу XAA ^ BA-^ или X = BA^-^, по которой можно находить решение. Вычисляем:

1. 3 1 X = BA-^ = I 0 10

2. 0 4

Задача 7. По какой формуле надо решать матричное уравнение AXB = F? Решение. Умножим уравнение слева на A^-^ и справа на B-^. Получим

A^-1AXBB^-1 = A^-1FB^-1,

EXE = A^-1FB^-1,

X = A^-1FB^-1.

2.6 Метод Гаусса

Рассмотрим произвольную систему

a₁₁x₁ +a₁₂x₂ +...+a_1nx_n = b₁, a₂₁x₁ +a₂₂x₂ +...+a_2nx_n = b₂,

a_m1x₁ +a_m2x₂ +...+a_mnx_n = b_m.

(2.5)

На этот раз не будем предполагать, что число уравнений m обязательно совпадает с числом неизвестных n.

Две системы линейных уравнений называют эквивалентными, если они имеют одно и то ж;е множество решений.

Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называют:

August 31, 2013 Курбатов В.Г.

21

1. перестановку двух уравнений местами;

2. умноясение уравнения на ненулевое число или сокращение на общий мнояси-

тель;

3. прибавление к одному уравнению другого, умноженного на некоторое число;

4. отбрасывание нулевых-*-) уравнений.

Ясно, что элементарные преобразования переводят систему в эквивалентную.

Элементарные преобразования системы аналогичны элементарным преобразова­ниям матриц,, поэтому для сокращения записи их обычно выполняют не с системой уравнений, а с ее расширенной матрицей

D=

a21 a 22

a1n a2n

b2 b_m

Напомним, что матрицу называют ступенчатой, если каждая ее строка начина­ется со строго большего числа нулей, чем предыдущая. Первый ненулевой элемент в строке ступенчатой матрицы A называют началом ступеньки. Будем различать ступеньки короткие и длинные.

Пример 23. Ступенчатой является матритщ

/8 10 3 1 5 \

0 6 4-20-3

0 0 0 0 4-2

0 0 0 0 0 0

Метод Гаусса заключается в преобразовании расширенной матрицы D (или, что эквивалентно, системы уравнений) с помощью элементарных преобразований сна­чала к ступенчатому виду (эту часть метода Гаусса называют прямым ходом), а затем по возмож;ности — к диагональному виду (эту часть метода Гаусса называ­ют обратным ходом). Возникающая в результате преобразований система уравнений легко решается. В промежутке меж;ду прямым и обратным ходом обсуж;дают вопрос о существовании и единственности решения. Уточним некоторые детали.

Меж;ду прямым и обратным ходом применяют два правила.

Правило 1. Если в последней строке расширенной матрицы, получившейся по­сле окончания прямого хода, до черты есть ненулевые числа, система совместна; если же в последней (ненулевой) строке до черты нет ненулевых чисел, то система несовместна.

Действительно, если последняя ненулевая строка имеет вид

(0 0 ... 0 I b) ,

^^Нулевым называют уравнение, в котором все коэффициенты, а также свободный члены равны нулю: 0 · x1 + 0 · x2 + ... + 0 · x„ = 0.

August 31, 2013 Курбатов В.Г.

22

где b_r = 0, то решений нет (система несовместна), поскольку этой строке соответ­ствует уравнение

0x1 + 0x2 + • • • + 0 x_n = b_r,

удовлетворить которому невозможно. Если же последняя ненулевая строка имеет вид

(0 0 ... ark ar _k+1 . . . I b_r ) ,

где a_rk = 0, то, как мы увидим, система совместна.

Если система оказалась совместной, то следует применить второе правило:^^ Правило 2. Если в расширенной матрице, получившейся после окоичапия пря­мого хода, все ступеньки короткие, то система является онределенной; если ж;е есть хотя бы одна длинная ступенька, то система является пеопределенпой.

Если система оказалась совместной, переходят к обратному ходу, используя эле­ментарные преобразования, делают нули над началами ступенек, а числа, стоящие на началах ступенек, по возмож;ности превращают в +1. В результате возникает си­стема, которая решается тривиальным образом.

Задача 8. Решить систему

x1 + 2x2 + 3x3 + 4x		4 = 5,
x2 + 2x3 + 3x4 = 1,
x1 + 3x3 + 4x4 = 2,
x1 + x2 + 5x3 + 6x4 = 1.
/12 3 4		5\
D=	0 12 3 10 3 4	1 2
1 156		1
м С выписывания расши];
1 234		5
D=	0 12 3 10 3 4	1 2
	1 156	1

После этого начинаем прямой ход. Его цель — сделать расширенную матрицу ступенчатой.

В качестве первого этапа прямого хода приводим к ступенчатому виду 1-ый стол­бец, а точнее — столбец, соответствующий началу первой ступеньки.

Для этого первые две строки переписываем без изменений (поскольку они удовле­творяют определению ступенчатой матрицы), к 3-ей строке прибавляем 1-ую, умно­женную на -1 (иными словами, из 3-ей строки вычитаем 1-ую), и к 4-ой строке прибавляем 1-ую, умпож;еппую на -1:

1 234	5		1	234	5
0 123	1		0	123	1
10 3 4	2	г-^	0	-2 0 0	-3
1 156	1		0	-1 2 2	-4

^^Его объяснению посвящен § 2.

August 31, 2013 Курбатов В.Г.

23

В качестве второго этапа прямого хода приводим к ступепчатому виду 2-ой стол­бец. Для этого первые две строки переписываем без измеиепий, к 3-ей строке при­бавляем 2-ую, умпоясенную на 2, а к 4-ой строке прибавляем 2-ую, умпоженпую на 1:

1 2 34	5		1234	5
0 1 23	1		0123	1
0-200	-3		0 0 4 6	-1
0 -1 2 2	-4		0045	-3

В качестве третьего этапа прямого хода приводим к ступепчатому виду 3-ий столбец. Для этого первые три строки переписываем без изменений, а к 4-ой строке прибавляем 3-ую, умноясенную на -1:

123 4	5		123 4	5
012 3	1		012 3	1
0 0 4 6	-1	∼	0 0 4 6	-1
004 5	-3		0 0 0 -1	-2

Поскольку получилась ступенчатая матрица, прямой ход метода Гаусса закончен.

После окончания прямого хода применяем два правила, см. с. 21 п 22. Вывод 1: поскольку в последней строке до черты есть ненулевые числа, система является сов­местной. Вывод 2: поскольку все ступеньки являются короткими, система является определенной.

Переходим к обратному ходу, см. с. 22. Его цель — сформировать пули пад нача­лами ступенек. Поскольку в нашем случае все ступеньки короткие, это означает, что надо сформировать до черты диагопальпую (а еще лучше — единичную) матрицу.

В качестве первого этапа обратного хода приводим к единичному виду 4-ый стол­бец. Для этого последнюю строку умножаем на -1, 4-ую строку умнож;аем на -6 и прибавляем к 3-ей, 4-ую строку умнож;аем на -3 и прибавляем к 2-ой, 4-ую строку умнож;аем на -4 и прибавляем к 1-ой:^)

123	4	5		1234	5		1230	-3
012	3	1		0123	1		0120	-5
0 0 4	6	-1	∼	0 0 4 6	-1	∼	0 0 4 0	-13
000	-1	-2		0001	2		0001	2

Па втором этапе обратного хода приводим к единичному виду 3-ий столбец. Для этого 4-ую строку оставляем без изменений, 3-ю строку умнож;аем на 1/4, 3-ю строку умнож;аем на -2 и прибавляем к 2-ой, а 3-ю строку умножаем на -3 и прибавляем к 1-ой:

1	2	3
0	1	2
0	0	4
0	0	0

0	-3
0	-5
0	-13
1	2

1230	-3		1200	27/4
0120	-5		0100	3/2
0 0 10	-13/4		0 0 10	-13/4
0001	2		0001	2

^^Термины "прямой ход" и "обратный ход" объясняются следующим обстоятельством. При пря­мом ходе движение идет сверху вниз и слева направо: верхние строки прибавляют к нижним, и на каждом шаге столбец, в котором формируют пули, передвигается вправо. При обратном ходе движение происходит в обратную сторону.

August 31, 2013 Курбатов В.Г.

24

На третьем этапе обратного хода приводим к единичному виду 2-ой столбец. Для этого 2-ую, 3-ю и 4-ую строки оставляем без изменения, а 2-ую строку умножаем на -2 и прибавляем к 1-ой:

1200	27/4		1000	15/4
0100	3/2		0100	3/2
0 0 10	-13/4		0 0 10	-13/4
0001	2		0001	2

До черты образовалась единичная матрица. Поэтому обратный ход метода Гаус­са закончен.

x₁ x₂ x₃ x₄

Возвращаясь от полученной расширенной матрицы к системе уравнений, получа­ем

15/4,

3/2,

-13/4,

2,

что фактически является ответом.

Правило. Если до черты получилась единичная матрица, то после черты нахо­дится решение.