4. Системы линейных уравнений. Решение методом Крамера и с использованием обратной матрицы.

Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида :

Матричная форма: А*Х=В, где А - матрица коэффициентов системы, называемая свободной матрицей, Х - вектор-столбец из неизвестных Xj, В - вектор-столбец из свободных членов Ьi;

Расширенной матрицей системы называется матрица А системы, дополненная столбцом свободных членов. Решением системы называется n значений неизвестных x₁ =C_l, x₂ =С₂, …, x_n=C _n1, при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства. Всякое решение системы можно записать в виде матрицы-столбца.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. Каждое решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением. Решить систему - это значит выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, найти ее общее решение.

Две системы называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и то же общее решение. Эквивалентные системы получаются, в частности, при элементарных преобразованиях системы при условии, что преобразования выполняются лишь над строками матрицы.

Ранг матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля.

Свойства ранга матрицы:

1. При транспонировании матрицы ее ранг не меняется.

2. Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не изменится.

3. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы

Теорема Кронекера-Капелли:

1. Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы.

2. Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.

3. Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений.

Метод Крамера – формулы:

Метод Обратной Матрицы:

Х=В*А^-1

5. Скалярное произведение векторов. Его свойства. Определение угла между векторами. Условие перпендикулярности векторов. Скалярное произведение векторов, заданных координатами.

Вектор - это направленный прямолинейный отрезок.

Скалярное произведение двух ненулевых векторов -число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Также скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию другого на ось, сонаправленную с первым вектором.

Свойства:

1. Скалярное произведение обладает переместительным свойством

2. Скалярное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя

3. Скалярное произведение обладает распределительным свойством

4. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: В частности: i²=j²=k²=1;

5. Если векторы (ненулевые) взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю

Скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноименных координат.

Угол между векторами:

Условие перпендикулярности векторов: