19. Непрерывность функции. Арифметические операции под непрерывными функциями. Односторонняя непрерывность. Классификация разрывов.

Функция у = f(x) определена в точке x₀ и в некоторой окрестности этой точки. Функция у = f(x) называется непрерывной в точке х₀, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т. е.

Если две функции f(x) и g(x) определены в одном и том же промежутке x и обе непрерывны в точке x_0, то в той же точке будут непрерывны и функции f(x)±g(x), f(x)*g(x), f(x)/g(x). Заметим, что элементарные функции непрерывны.

Односторонняя непрерывность и классификация разрывов:

– функция непрерывна справа;

– функция непрерывна слева;

Точка х_о называется точкой разрыва первого рода функции у = f(x), если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы), т. е.

а) если A1 = А2, то точка х_о называется точкой устранимого разрыва;

б) если A1≠А2, то точка х_о называется точкой конечного разрыва.

Скачок функции: │А1-А2│

Точка х_о называется точкой разрыва второго рода функции у = f(x), если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности.

(Возможно тут ещё свойства нужны. Или нет. )

20. Определение производной. Ее геометрический смысл. Правила дифференцирования.

Производной функции у = f(x) в точке х_о называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

(Ну или вот так):

Геометрический смысл производной: Производная f '(x) в точке x равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y=f(x) в точке, абсцисса которой равна х.

Если функция имеет в точке производную, то она дифференцируема и непрерывна в этой точке. В точках разрыва нет дифференцируемой функции.

y = f ' (x₀)*(х-х₀) + f(x₀) – уравнение касательной

Правила дифференцирования:

1. (u ± v)' = u' ± v'

2. (u * v)' = u'v + v'u

3. (u / v)' = (u'v - v'u)/(v²)

4. (u(v(x) )' = u'* v' (x) (!)

5. (с· u)' = с· u', где с = const

21. Дифференциал функции. Геометрический смысл. Инвариантность (неизменность) формы.

Дифференциал функции - линейная часть приращения функции.

dy= f '(x)*dx - дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Геометрический смысл: дифференциал функции у = f(x) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке когда х получит приращение dx.

Инвариантность (неизменность) формы первого дифференциала – дифференциал у = f(x) сохраняет одно и то же выражение независимо от того, является ли аргумент у независимой переменной или функцией от независимой переменной.

Правило Лопиталя:

22. Основные теоремы дифференциального исчисления.

Теорема Ферма: Пусть y=f(x) непрерывна в некотором отрезке [а; b], и принимает наибольшее значение х₀ во внутренней точке этого отрезка. Если существует производная в этой точке, то (х₀) =0.

Теорема Ролля: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а; b], дифференцируема во всех точках и на концах отрезка принимает одинаковые значения f(а) = f(b), то найдется хотя бы одна точка с є (а; b), в которой производная f(х) обращается в нуль, т. е. f(с) = о.

Теорема Лагранжа: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а; b], дифференцируема на интервале (а; b), то найдется хотя бы одна точка с є (а; b) такая, что выполняется равенство f(b) - f(a) = f '(c)(b - а).

Теорема Коши: Если функции f(х) и φ(x) непрерывны на отрезке [а; b], дифференцируемы на интервале (а; b), причем φ'(x)≠О для х на интервале (а; b), то найдется хотя бы одна точка c є (а; b), такая, что выполняется равенство.