6. Векторное произведение векторов, заданное координатами. Условие коллинеарности векторов. Определение площади параллелограмма, построенного на двух векторах.

В екторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c, который:

1) перпендикулярен векторам a и b

2) имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах a и b как на сторонах.

3) векторы a, b, c образуют правую тройку.

Векторное произведение обозначается

Из определения векторного произведения непосредственно вытекают следующие соотношения между ортами i, j и k: i*j=k, j*k=i, k*i=j.

Свойства:

1. 

2. 

3. 

4. 

Векторное произведение векторов, заданное координатами:

Площадь параллелограмма:

Условие коллинеарности векторов: Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Коллинеарные векторы бывают сонаправленными или противоположно направленными.

7. Смешанное произведение трех векторов. Его свойства. Выражение смешанного произведения через координаты векторов. Условие компланарности трех векторов. Определение объема параллелепипеда, построенного на трех векторах.

Смешанное произведение векторов:

Cмешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком «плюс», если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком «минус», если они образуют левую тройку.

Свойства:

1. 

2. 

3. 

4. 

Выражение смешанного произведения через координаты векторов:

Объем параллелепипеда: V_пар-да

8. Прямая на плоскости. Общее уравнение прямой. Особые случаи расположения прямой. Уравнения прямой в отрезках, с угловым коэффициентом.

Простейшей из линий является прямая. Разным способам задания прямой соответствуют в прямоугольной системе координат разные виды ее уравнений.

Прямая с угловым коэффициентом: y=kx+b, где k= tg a – угловой коэффициент.

Особые случаи:

1) Если b=0, то прямая проходит через начало координат (y=kx).

2) Если k = tg а = 0, то прямая || Ox (y=b).

3) Если a=π/2, то k не существует, прямая || Oy (x=A, где A - абсцисса точки пересечения прямой с осью Ох).

Общее уравнение прямой: Ax+By+C=0, где А, В, С - произвольные числа, причем A, B, C≠0

Особые случаи:

1) если А = о, то уравнение приводится к виду y=-C/B, прямая || Ox

2) если В = о, то уравнение приводится к виду x=-С/A, прямая || Oy;

3) если С = О, то получаем Ах+Ву = 0, прямая проходит через начало координат.

Уравнение прямой в отрезках:

9. Плоскость в пространстве. Общее уравнение. Частные случаи расположения. Уравнение плоскости в отрезках, проходящей через 3 точки.

Простейшей поверхностью является плоскость. Плоскость в пространстве Oxyz можно задать разными способами.

Общее уравнение: Ах + Ву + Cz + D = 0.

1. Если D = О, то оно принимает вид Ах + Ву + Cz = 0. Плоскость проходит через начало координат О (0;0;0).

2. Если С = О, то плоскость || Оz. Если В = О, то плоскость || Оy. Если A = О, то плоскость || Оx.

3. Если С = D = О, плоскость Ах + Ву = О проходит через ось Oz. Аналогично, уравнениям Ву + Cz = О и Ах + Сz = О отвечают плоскости, проходящие соответственно через оси Ох и Оу.

4. Если А = В = О, то уравнение принимает вид Cz + D = О, т.е. плоскость параллельна плоскости Оху. Аналогично, уравнениям Ах + D = О и Ву + D = О отвечают плоскости, соответственно параллельные плоскостям Oyz и Oxz.

5. Если А = В = D = О, то уравнение примет вид Cz = О, т. е. z = О. Это уравнение плоскости Оху. Аналогично: у = О - уравнение плоскости Oxz; х = О - уравнение плоскости Oyz.

Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки: три данные точки M₁(X₁;Y₁;Z₁), M₂(X₂;Y₂;Z₂) и М_З(Х_З;У_З;Z_З) и произвольная точка М((X;Y;Z) Уравнение:

Уравнение плоскости в отрезках: