Формула Тейлора.
формула Тейлора для многочлена Pn(x) степени n
Максимум и минимум функции. Критические точки. Достаточное условие существования экстремума.
Точка максимум – наибольшее значение функции f(x) на заданном интервале. Точка минимум – наименьшее значение функции f(x) на заданном интервале.
Непрерывная функция может иметь экстремум лишь в точках, где производная функции равна нулю или не существует – такие точки называют критическими точками.
Достаточное условие экстремума – если непрерывная функция y = f(x) дифференцируема в некотором интервале критической точки х0 и при переходе через нее производная f (x) меняет знак с плюса на минус, то x0 есть точка максимума; с минуса на плюс, то х0 есть у точка минимум.
Схема исследования дифференцируемой функции на max и min с помощью первой производной. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
а) Найти область определения функции.
б) Найти (если можно) точки пересечения графика с осями координат.
в) Найти интервалы, знак постоянства функции (промежутки, на которых f(x) > 0 или f(x) < 0).
г) Выяснить асимптоты графика функции.
д) Найти интервалы монотонности функции.
е) Найти экстремумы функции.
ж) Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции.
Наибольшее
и наименьшее значения функции на отрезке
- Пусть функция
y
= f(x)
непрерывна на отрезке [a,b].
Как известно, такая функция достигает
своих наибольшего и наименьшего значений.
Эти значения функция может принять либо
во внутренней точке х0
отрезка [a,b],
либо на границе отрезка, т.е. при х0
= а или х0
= b.
Если х0
(a,b),
то точку х0
следует
искать среди критических точек данной
функции.
Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба.
График дифференцируемой функции y = f(x) называется выпуклым на интервале (a,b), если он расположен выше любой ее касательной на этом интервале. График функции y = f(x) называется вогнутым на интервале (a,b), если он расположен ниже любой ее касательной на этом интервале.
Точка, при переходе через которую функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба. Достаточное условие вогнутости (выпуклости) функции – пусть функция f(x) дважды дифференцируема на интервале (a,b), тогда: если f ''(x) > 0 для любого x (a,b), то функция f(x) является вогнутой на интервале (a,b); если f ''(x) < 0 для любого x (a,b), то функция f(x) является выпуклой на интервале (a,b).
Достаточное условие существования точек перегиба – если вторая производная функции при переходе через точку х0, в которой она равна 0 или не существует, меняет знак, то точка графика с абсциссой х0 есть точка перегиба.
И напоследок:
Любите Матан,
Бойтесь Матан,
Ненавидьте и тайно боготворите!
ВСЕМ ДОБРА!