10. Прямая в пространстве. Каноническое уравнение прямой. Приведение общих уравнений прямой к каноническому виду. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

Пусть S = (m;n;р) - направляющий вектор прямой L, Мо(Хо; Уо; Zo) - точка, лежащая на этой прямой, произвольная точка М(х; у; z). МоМ || S. Тогда, каноническое уравнение прямой:

П риведение общих уравнений прямой к каноническому виду:

A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0,

А₂х + В₂y + C₂z + D₂ = 0.

1. Задать одну из координат (a;b;c)

2. Подставить эту координату в систему уравнений

3. Найти x,y,z

n₁={A_1;B₁;C₁}; n₂={A_2;B₂;C₂}

Тогда нормальный вектор s= n_1× n₂₌ =i*(B₁C₂-B₂C₁)-j*(A₁C₂-A₂C₁)+k*(A₁B₂-A₂B₁), причем m=B₁C₂-B₂C₁ n= A₁C₂-A₂C₁ p= A₁B₂-A₂B₁

Следовательно,

Угол м/у двумя прямыми равен

Если прямые перпендикулярны, то cos = о. Следовательно, = о.

Если прямые параллельны, то параллельны их направляющие вектора (s₁ и s₂). Следовательно, координаты этих векторов пропорциональны, т. е.

11. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Определение общих точек прямой и плоскости.

Пусть плоскость задана уравнением Ах + Ву + Cz + D = О, а прямая:

Тогда sin =

Если прямые перпендикулярны, то в этом и только в этом случае имеем cos φ = о. Следовательно

Если прямые параллельны, то параллельны их направляющие вектора. Следовательно, координаты этих векторов пропорциональны, т. е.

О пределение общих точек прямой и плоскости:

x= x₀+mt t(Am + Вn + Ср) + (Ах₀ + Вy₀ + Cz₀ + D) = О

y= y₀+nt 1) Am + Вn + Ср≠0, t=

z= z₀+pt 2) Ах₀ + Вy₀ + Cz₀ + D≠0, прямая||плоскость

3) Am + Вn + Ср=0, Ах₀ + Вy₀ + Cz₀ + D=0, прямая принадлежит плоскости

12. Кривые второго порядка на плоскости. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.

Кривые второго порядка на плоскости:

Ах² + 2Вху + Су² + 2Dx + 2Еу + F = О, где А≠0 В≠0 С≠0

Общее уравнение второго порядка определяет на плоскости (если не считать случаев вырождения и распадения) следующие кривые: окружность, эллипс, гиперболу, параболу.

Окружность – множество точек, расположенных на равном расстоянии от заданной точки. Каноническое уравнение окружности: (x-x₀) ²+(y-y₀) ²=R² (приводится с помощью ф-лы d= =R).

Эллипс – геометрическое место точек, сумма расстояний которых от двух данных точек (F₁ и F₂) постоянна. Каноническое уравнение эллипса: (через определение эллипса ).

Гипербола – геометрическое место точек, разность расстояний которых до двух данных точек (F₁ и F₂) постоянна. Каноническое уравнение гиперболы: (через определение гиперболы ).

Парабола - множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки (F) и данной прямой –директрисы. Каноническое уравнение параболы: y²=2px (через определение параболы ).

13. Функции: четные, нечетные, периодические, возрастающие, убывающие, неявные, обратные, сложные. Способы задания.

Основное понятие анализа – функция y=f(x), где х – аргумент. Область значения - место, где функция существует.

Основные характеристики функции:

1) Четная f (-x) = f (x)

2) Нечетная f (-x) = - f(x)

3) Периодическая f(x+a)=f(x), a – период

4) Возрастающая f(x₁)<f(x₂), x₁<x₂

5) Убывающая f(x₁)>f(x₂), x₁<x₂

6) Обратная y=f(x) => x=φ(y)

7) Сложная y=F(u) u=f(x) y=F(f(x))

8) Неявная F(x;y)=0

Способы задания функции: аналитический (функция задается в виде одной или нескольких формул или уравнений), графический (задается график функции), табличный (функция задается таблицей ряда значений аргумента и соответствующих значений функции).