14. Предел последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших величин. Леммы о бесконечно малых.

Число а называется пределом последовательности {х_n}, если для любого положительного числа ε найдется такое натуральное число N, что при всех n > N выполняется неравенство | х_n-a | < ε

Последовательность х_n имеющая своим пределом 0 называется бесконечно малой величиной.

Последовательность х_n имеющая своим пределом ±∞ называется бесконечно большой величиной.

Леммы:

1. Сумма конечного числа бесконечно малых есть величина бесконечно малая.

2. Произведение ограниченных переменной х_n есть величина бесконечно малая.

Сравнение бесконечно малых

1. Пусть a и b – бесконечно малые. Если их отношение (b/a) имеет конечный и отличный от 0 предел, то a и b - величины одного порядка.

2. Если отношение b/a само оказывается бесконечно малым, то величина b бесконечно малая высшего порядка по сравнению с a. b=0(a).

Сравнение бесконечно больших ( не факт, нужно уточнить и доделать!!!! )

1. Пусть y и z – бесконечно большие. Если их отношение (y/z) имеет конечный и отличный от 0 предел, то y и z - величины одного порядка.

2. Если отношение y/z бесконечно большое, то величина y - бесконечно малая высшего порядка по сравнению с z.

15. Теоремы о пределах. Неопределенные выражения.

1. Если последовательность х_n имеет предел, то она является ограниченной (это утверждение необратимо, т.к. не всякая последовательность имеет предел).

2. У последовательности не может быть двух пределов.

Неопределенные выражения (а также как они раскрываются):

1. (Через деление числителя и знаменателя на выражение)

2. (Через деление числителя и знаменателя на наивысшую степень переменной)

3. (Приводится в неопределенность )

4. (Приводится в неопределенность )

5. (через первый замечательный предел

16. Предел функции. Теоремы о пределах функций. Общий признак Больцано-Коши о существовании предела функции.

Предел функции – величина, к которой стремится функция при стремлении её аргумента к данной точке.

Условия:

1) функция f(x) определена в точке х_о и в ее окрестности;

2) функция f(x) имеет предел при х - х_о;

3)

;

Пусть последовательность увеличивается в области х и имеет точку смещения х при этом функция ограничена сверху, то при х→а функция имеет конечный предел

Общий признак Больцано-Коши: Для того, чтобы f(х) при х_a имело конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для каждого ε>0 существует β>0 такое, что

17. Первый и второй замечательные пределы (на примерах).

Примеры:

Примеры:

18. Эквивалентные величины. Использование при вычислении пределов.

Две функции эквивалентны, если

1. sin x ~ x (x 0)

2. tg x ~ x (x 0)

3. arcsin x ~ x (x 0)

4. arctg x ~ x (x 0)

5. 1 – cos x ~ x²/2 (x 0)

6. e^x-1 ~ x (x 0)

7. a^x-1 ~ x*ln a (x 0)

8. ln(1+x) ~ x (x 0)

9. Log _a (1+x) ~ x*log _a e (x 0)

10. (1+x)^k-1 ~ k*x, k>0 (x 0)

P_n(x) = a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…; P_n(x) ~ a_nxⁿ; x→∞ (Что это за ф-ла – хз, просто она была в лекции рядом с -//-)

Эквивалентные величины используются для вычисления (например) неопределенностей. Пример: