2 Гідростатика

2.1 Сили, що діють у рідині, яка знаходиться у стані спокою. Тиск і його властивості.

2.2 Диференціальні рівняння рівноваги рідини (рівняння Ейлера).

2.3 Основне рівняння гідростатики.

2.4 Закон Паскаля та його застосування в техніці.

2.5 Манометричний тиск. Вакуум. П’єзометр. Вакуумметр.

2.6 Прилади для вимірювання тиску. Епюра гідростатичного тиску.

2.7 Сила тиску рідини на плоску та криволінійну поверхні. Закон Архімеда.

2.1 Сили, що діють у рідині, яка знаходиться у стані спокою. Тиск і його властивості

Гідростатика – це розділ гідравліки, в якому розглядаються закони рівноваги рідини і їхнє практичне застосування.

На рідину у стані спокою діють дві категорії сил: масові (об’ємні) і поверхневі. Масовими є сили, пропорціональні масі рідини - це сили тяжіння, сили інерції, відцентрові сили.

Поверхневі сили – це сили, що діють на поверхні рідини (величина їх пропорціональна площі поверхні). До поверхневих сил можна віднести силу тиску поршня, силу атмосферного тиску, силу тиску шарів рідини та ін.

В гідромеханіці масові і поверхневі сили розглядають як одиничні сили, тобто віднесені до одиниці маси або площі. Якщо сила є добутком маси на прискорення, то одинична масова сила буде дорівнювати прискоренню, а одинична поверхнева сила – напруженню. У рідинах, які знаходяться у стані спокою, дотичні напруження будуть дорівнювати нулю.

Розглянемо рідину в стані спокою. З поверхневих сил на нею діють тільки сили тиску. Сили тиску на зовнішній поверхні об’єму рідини завжди спрямовані усередину і, отже, є стискуючими. Стискуюче напруження, що виникає всередині рідини, яка знаходиться у стані спокою, називається гідростатичним тиском.

Р

Рисунок 2.1 – Схема рівноваги об’єму рідини

озглянемо деякий об’єм рідини (рис. 2.1), який знаходиться в рівновазі під дією зовнішніх сил. Розділимо його умовно на дві частини площиною S. Відкинемо верхню частину об’єму і замінимо його дію силою F (силою гідростатичного тиску). Відношення нормальної сили F до площі S, на яку діє ця сила,

називається тиском p :

. (2.1)

Гідростатичний тиск має такі властивості:

а) на будь яку поверхню тиск діє перпендикулярно, тобто по нормалі;

б) значення тиску в любій точці рідини однакові у всіх напрямах.

У системі СІ тиск вимірюється в паскалях (Па), 1 Па = 1Н/м², у технічній системі застосовують одиницю тиску – технічну атмосферу (ат) :

1ат = 1 кгс/ см² = 98100 Н/м² = 98100 Па = 0,1 МПа.

2.2 Диференціальні рівняння рівноваги рідини (рівняння Ейлера)

Рівняння дійсні для ідеальної рідини (це умовно нев’язка рідина, яка не стискається і не розширюється).

Розглянемо умову рівноваги рідини ( рис. 2.2.).

У просторі досліджуваної рідини вибираємо систему координат і фіксуємо довільну точку А з координатами (x;y;z). Біля точки А виділимо нескінченно малий паралелепіпед із сторонами dx,dy,dz. Позначимо тиск у точці А через р.

В иділений паралелепіпед буде зберігати стан спокою або рівноваги за умови, якщо сума проекцій всіх діючих сил на координатні вісі буде дорівнювати нулю.

Рисунок 2.2 – Схема дії

сил на елементарний

паралелепіпед

На паралелепіпед будуть діяти масові сили (сила тяжіння, сила інерції) і поверхневі сили (сили тиску).

Позначимо проекції одиничних масових сил на координатні вісі через X,Y,Z.

Проекції всіх масових сил на вісь х :

dQ_x = Xdm, (2.2) де dm – маса об’єму рідини.

Маса елементарного паралелепіпеда :

dm = ρdxdydz.

Тоді проекція масових сил на вісь х :

dQ_x = Xρdxdydz . (2.3)

Знайдемо силу гідростатичного тиску, що діє на грані паралелепіпеда. Позначимо тиск у точках В і С через р_в і р_с. Будемо рахувати, що у рідкому середовищі тиск змінюється за лінійним законом. В точках В і С тиск відрізняється від тиску p в точці А і залежить від координат цих точок.

Тиск в точці В буде дорівнювати :

= , (2.4)

де – градієнт (зміна) тиску вздовж вісі х.

Тиск в точці С :

. (2.5)

Оскільки площі паралелепіда дуже малі, тиски в т. В і С можна розглядати як середні гідростатичні тиски.

Визначимо сили тиску, що діють на грані паралелепіпеда.

Сили тиску на ліву грань :

. (2.6)

Сили тиску на праву грань :

). (2.7)

Запишемо рівняння рівноваги всіх сил, що проекціюються на вісь х :

. (2.8)

Підставимо значення сил в рівняння (2.8) :

. (2.9)

Аналогічні рівняння можна записати для вісей у і z. Складемо систему рівнянь для трьох координат і розділимо ці рівняння відповідно на і перетворимо. Після цього отримуємо систему рівнянь

(2.10)

Рівняння (2.10) – це диференціальні рівняння рівноваги рідини (рівняння Ейлера).

Для практичного користування необхідно замість системи рівнянь одержати одне еквівалентне їм рівняння. Для цього помножимо кожне рівняння відповідно на Склавши всі три рівняння, одержимо

. (2.11)

Вираз в дужках є повним диференціалом тиску, тобто функції р (x,y,z). Після підстановки і перетворень отримаємо :

. (2.12)

Рівняння (2.12) – це основне диференціальне рівняння рівноваги рідини.

Отримане рівняння виражає збільшення тиску при зміні координат на у випадку рівноваги рідини.