2.3 Основне рівняння гідростатики

Розглянемо рівновагу рідини в резервуарі (рис. 2.3), якщо рідина знаходиться під дією тільки однієї масової сили – сили тяжіння.

На рідину діє також тиск навколишнього середовища. Стан рідини, що перебуває в рівновазі, описує рівняння (2.12) ,

де – повний диференціал тиску; X,Y,Z – проекції одиничної масової сили на координатні віс ;

Рисунок 2.3 – Схема зміна координат точки.

рівноваги рідини

Якщо на рідину діє тільки сила тяжіння, то X = Y = 0, а .

Після інтегрування , можна записати

. (2.13)

Для цього випадку основне рівняння рівноваги рідини має вигляд

. (2.14)

або

(2.15)

де р – тиск в точці А, розташованій на висоті z від горизонтальної площини порівняння.

Рівняння (2.15) виражає розподіл тиску в рідині, що знаходиться в стані спокою.

Для визначення постійної інтегрування підставимо параметри вільної поверхні, для якої при , .

Підставимо в рівняння і одержимо :

.

_{Звідси знаходимо :}

.

Замінимо ,

де h – глибина розташування точки А.

Після цього маємо :

. (2.16)

Рівняння (2.16) – це друга форма запису основного рівняння гідростатики.

Згідно цього рівняння тиск у довільній точці нерухомої рідини дорівнює сумі тисків – тиску на вільній поверхні і тиску від ваги стовпа рідини висотою .

Величина є однаковою для всіх точок об’єму рідини. Тому можна стверджувати, що тиск, прикладений до зовнішньої поверхні рідини, передається всім точкам цієї рідини і по всім напрямкам однаково. Це закон Паскаля.

2.4 Закон Паскаля та його застосування в техніці

На законі Паскаля засновано принцип дії деяких гідравлічних пристроїв: гідравлічного преса, гідравлічного акумулятора, мультиплікатора тиску та ін.

Розглянемо деякі з них.

1. Гідравлічний прес

Гідравлічний прес складається з двох камер А і В, які з’єднані трубопроводом (рис. 2.4). У кожній камері є поршені. У меншій поршень П₁ з площею S₁, у більшій - П₂ з площею S_2.

До поршня П₁ за допомогою важеля прикладена сила F_1. Тиск, який виникає під поршнем, дорівнює . За законом Паскаля тиск передається однаково всім точкам рідини, зокрема і на Рисунок 2.4 – Схема поверхню поршня П₂.

гідравлічного преса

При цьому створюється сила :

. (2.17)

Сила називають пресовою. Вона може пресувати тіло або піднімати його вгору.

З урахуванням (2.17) пресова сила дорівнює

. (2.18)

Тобто сила у стільки разів більше сили F_1, прикладеної до меншого поршня, у скільки разів площа S₂ більше площі S_1. Підбором площ S₁ і S₂ можна одержати необхідне збільшення сили .

Гідравлічний прес застосовують при обробці металів тиском (пресуванні, штампуванні).

2. Гідравлічний акумулятор

Гідравлічний акумулятор (рис. 2.5) служить для акумулювання, тобто накопичення енергії. Його застосовують в тих випадках, коли необхідно виконати короткочасну роботу, наприклад, підняти великий вантаж, відкрити або закрити ворота шлюзів та ін.

Гідравлічний акумулятор складається з плунжера 1, розміщеного в циліндрі 2, що піднімається разом з вантажем 3 при зарядці акумулятора (нагнітанні рідини в циліндр). При розрядці акумулятора циліндр, зісковзуючи по плунжеру, рухається вниз і рідина під тиском подається до споживача.

При зарядці акумулятора циліндр піднімається вгору, сила тертя буде направлена вниз.

Рисунок 2.5 – Схема

гідравлічного акумулятора

Тиск при зарядці знайдемо з рівняння :

, (2.19)

де G - вага вантажу, F_т - сила тертя, F₁ - сила тиску.

Сила тиску на поршень дорівнює

F₁ = р_{1 ,} (2.20)

де - діаметр поршня.

Після підстановки в рівняння (2.19) одержимо

. (2.21)

З рівняння (2.21) визначають тиск р₁ при зарядці акумулятора :

р₁ = . (2.22)

При розрядці акумулятора циліндр рухається вниз, сила тертя спрямована вгору. Рівняння рівноваги циліндра приймає вигляд

, (2.23)

де - сила тиску на поршень при розрядці акумулятора

Тоді

. (2.24)

Звідси тиск р₂ при розрядці акумулятора :

р₂ = . (2.25)