Лекция 16

7.2.Представление и вывод при неполных знаниях.

1. Вероятностный подход к представлению неопределённых знаний.

Основные понятия.

В предыдущем разделе рассматривалось решение задач путём логического вывода на основе фактов и правил, содержащихся в базах знаний, о которых было известно, что содержащиеся в них высказывания были истинными, ложными или нечёткими. Если до решения задачи известно достаточно много фактов и правил о предметной области, то описанные подходы позволяют сформировать планы действий, которые гарантированно будут работать. К сожалению, не всегда имеется возможность составить полное и правильное описание того, как будут осуществляться дальнейшие действия. Предположим, например, что студент желает вовремя попасть на лекцию, которая начинается в 8 часов 30 минут утра и для этого составляет план А5, согласно которому он прибудет в институт за пять минут до начала лекции.

Но даже если институт находится от дома на расстоянии одной остановки метро то все равно не нельзя со всей определенностью сделать вывод, что “план А5 позволит студенту прибыть в институт вовремя”. Вместо этого студент приходит к более слабому заключению: “План А5 позволит нам прибыть в институт вовремя, если только я не просплю, смогу быстро одеться и позавтракать, если родители не пристанут с вопросами типа «почему я вчера так поздно пришёл», если мне удастся сесть в метро и ещё много «если» и ни одно из этих условий нельзя довести до логического вывода, поэтому невозможно сформировать логическим путем заключение о том, что реализация плана будет успешной. Но лекция очень важна - она последняя в семестре, преподаватель объявил, что будет давать вопросы к экзамену, а опоздавших он не пускает. Тогда студент составляет план А15, предусматривающий прибытие в институт за 15 минут, что способно повысить степень уверенности студента в том, что он доедет в институт вовремя, но вместе с тем повысит вероятность продолжительного ожидания начала лекции. Таким образом, выбор правильной стратегии — рационального решения — зависит и от относительной важности различных целей, и от вероятности того (от степени уверенности в том), что они могут быть достигнуты.

Для иллюстрации связанных с этим понятий будет также использоваться пример из студенческой жизни, связанный с диагностикой учебных успехов студентов. Вообще любая диагностика (проводимая при обследовании пациента, при ремонте автомобиля или в других областях) представляет собой задачу, в которой почти всегда приходится сталкиваться с неопределенностью. Попробуем записать правила для диагностики учебных успехов с использованием логики первого порядка, чтобы можно было ознакомиться с тем, какие трудности возникают при осуществлении логического подхода. Рассмотрим следующее правило:

Если студент учится плохо по предмету СИИ, то он пропустил много занятий по предмету СИИ.

Проблема состоит в том, что это правило является неверным. Не все студенты которые учатся плохо по предмету СИИ пропустили много занятий; у некоторых из них есть пробел в базовых знаниях, другим непонятно объяснение преподавателя. К сожалению, для того чтобы сделать это правило истинным, мы вынуждены ввести в в него почти бесконечный список возможных причин. Но даже в этом случае с целью правильной диагностики необходимо также учитывать вероятность того, что плохая учёба студента и пропуск занятий могут быть не связаны.

Таким образом, попытка использовать логику первого порядка для представления знаний в такой области как диагностика, оканчивается неудачей по трем основным причинам:

• Экономия усилий. для формирования полного множества антецедентов или консеквентов, необходимого для составления правила, не имеющего исключений, требуется слишком много работы, а само применение таких правил является слишком сложным.

• Отсутствие теоретических знаний. Психологическая наука не имеет полной теории для данной проблемной области.

• Отсутствие практических знаний. Даже если известны все правила, может оставаться неопределенность в отношении диагноза учебных неуспехов данного конкретного студента, поскольку все необходимые обстоятельства данного положения дел не известны.

Такая ситуация типична не только для данной области, но и для большинства других областей, в которых требуется формирование суждений об определенных ситуациях: юриспруденция, экономика, проектирование, ремонт автомобилей, садоводство, датирование ископаемых находок и т.д. Существующие знания в лучшем случае позволяют сформировать относящиеся к делу высказывания только с определенной степенью уверенности. Основным применяемым инструментальным средством для учета степеней уверенности будет теория вероятностей, в которой каждому высказыванию присваивается числовое значение степени уверенности от 0 до 1.

Вероятности предоставляют способ суммарного учета неопределенности, возникающей по причинам экономии усилий и отсутствия знаний. Мы не можем знать со всей уверенностью, что является причиной плохой учёбы студента по предмету СИИ, но можем быть уверены в том, что, скажем, в 80 случаях из 100 (т.е. с вероятностью 0,8) студент пропускал занятия, если он плохо учится. Такая уверенность может быть основана на статистических данных (о том, что у 80% плохо учившихся студентов есть пропуски занятий), или на основе некоторых общих правил, или с использованием определенной комбинации сведений, полученных из разных источников. В этих 80% дана сводная информация обо всех случаях, в которых присутствовали все факторы, необходимые для того, чтобы пропуск занятий вызывал плохую учёбу. Эти недостающие 20% подытоживают все другие возможные причины плохой учёбы, для подтверждения или отрицания которых мы либо затратили слишком мало усилий, либо не имели достаточно знаний.

Присваивание вероятности 0 данному конкретному высказыванию соответствует безусловной уверенности в том, что это высказывание ложно, а присваивание вероятности 1 соответствует безусловной уверенности, что высказывание истинно. Значения вероятности между 0 и 1 соответствуют промежуточным степеням уверенности в истинности высказывания. В действительности само высказывание может быть либо истинным, либо, ложным независимо от этого. Важно отметить, что степень уверенности отличается от степени истинности. Вероятность 0,8 не означает “истинно на 80%”, а просто указывает 80%-ную степень уверенности, т.е. на довольно обоснованные ожидания.

Степени истинности, в отличие от степеней уверенности, являются предметом нечеткой логики. Степень уверенности зависит от результатов восприятия фактов окружающего мира, полученных до сих пор. Сами результаты восприятия представляют собой свидетельство, на котором основаны вероятностные утверждения. Например, предположим, что игрок вытянул карту из растасованной колоды. Прежде чем посмотреть на эту карту, игрок может присвоить значение вероятности 1/52 такому событию, что карта окажется тузом пик, а после взгляда на вынутую из колоды карту соответствующая вероятность для того же высказывания примет значение 0 или 1. Таким образом, присваивание значения вероятности некоторому высказыванию аналогично утверждению о том, что данное конкретное логическое высказывание (или его отрицание) следует из базы знаний, а не о том, является ли оно истинным или ложным. Разумеется, так как высказывания из базы знаний, могут изменяться по мере добавления в базу новых высказываний; и, по аналогии с этим, вероятности могут изменяться после получения дополнительных свидетельств.

Поэтому во всех вероятностных утверждениях должно быть указано свидетельство, с учетом которого оценивалась данная вероятность. По мере получения новых результатов восприятия вероятностные оценки обновляются таким образом, чтобы в них отражались новые свидетельства. Вероятности, оцениваемые до получения свидетельства, называются априорными, или безусловными вероятностями, а вероятности, оцениваемые после получения свидетельства, называются апостериорными, или условными, вероятностями. В большинстве случаев задача вывода заключается в вычислении апостериорных вероятностей результатов, которые его интересуют на основании определённых свидетельств.

Теперь, после определения общих понятий вероятностного подхода, нам потребуется формальный язык для представления и формирования рассуждений с неопределенными знаниями. Любая система обозначений, применяемая для описания степеней уверенности, должна предоставлять возможность решать две основные проблемы: отражать характер высказываний, которым присваиваются оценки степени уверенности, и показывать зависимость степени уверенности от существующего опыта. В представленной здесь версии теории вероятностей используется одно из расширений логики первого порядка, которое распространяется на высказывания в этой логике. Зависимость от опыта отражается в синтаксическом различии между априорными вероятностными утверждениями, которые применяются до получения каких-либо свидетельств, и условными вероятностными утверждениями, которые явно включают соответствующие свидетельства.

Высказывания:

Оценки степеней уверенности всегда применяются к высказываниям — утверждениям о том, что имеет место то-то и то-то. До сих пор рассматривался язык логики первого порядка, применяемый для составления высказываний. В теории вероятностей, как правило, используется язык, немного более выразительный, чем логика первого порядка. Этот язык описан в данном разделе.

Основным элементом этого языка является случайная переменная, которая может рассматриваться как свойство объекта предметной области. Например, утверждение «плохо учится по предмету СИИ» является свойством студента. Каждая случайная переменная имеет область определения значений, которые она может принимать. Например, область определения переменной «плохо учится по предмету СИИ» (истина, ложь). Случайные переменные обычно подразделяются на три описанных ниже вида, в зависимости от типа области определения.

Булевы случайные переменные, такие как «плохо учится по предмету СИИ», имеют область определения <истина, ложь>.

Дискретные случайные переменные, которые включают булевы случайные переменные как частный случай и принимают значения из счетной области определения. Например, областью определения погоды ПОГОДА: может быть <солнечная>, <дождливая>, <снежная>. Значения в области определения должны быть взаимно исключающимися и исчерпывающими.

Непрерывные случайные переменные принимают свои значения из области действительных чисел. Эта область определения может представлять собой всю ось действительных чисел или некоторое ее подмножество, такое как интервал [ 0, 1]. Например, в высказывании х=5,5 утверждается, что случайная переменная х имеет точное значение 5,5.

Элементарные высказывания, такие как «студент учится плохо по предмету СИИ» и «он пропустил много занятий по предмету СИИ» могут комбинироваться для формирования сложных высказываний с использованием стандартных логических связок. Например, «студент учится плохо по предметуСИИ»  «он пропустил много занятий по предмету СИИ» представляет собой высказывание, которому может быть предписана определенная степень уверенности (неуверенности).

Для понимания основ теории вероятностей полезно ознакомиться с понятием атомарного события. Атомарное событие представляет собой полную специфика- состояния мира, в отношении которого знания являются неопределенными. Оно может рассматриваться как некоторое присваивание конкретных значений всем переменным, из которых состоит этот мир. Например, если мир студента состоит только из булевых переменных «плохо учиться» и «пропускать занятия», то существует всего лишь четыре разных атомарных события, одним из таких событий является высказывание «студент учится плохо по предмету СИИ= истина»  «он пропустил много занятий по предмету СИИ = истина».

Атомарные события имеют некоторые важные свойства, описанные ниже.

• Они являются взаимно исключающими — фактически может иметь место, самое большее, одно такое событие. Например, не могут одновременно происходить такие события, как и «студент учится плохо по предмету СИИ= истина»  «он пропустил много занятий по предмету СИИ= истина» и «студент учится плохо по предмету СИИ= ложь»  «он пропустил много занятий по предмету СИИ= ложь»

• Множество всех возможных атомарных событий является исчерпывающим — должно иметь место, по меньшей мере, одно из этих событий. Это означает, что дизьюнкция всех атомарных событий логически эквивалентна истина.

• Из любого конкретного атомарного события следует истинность или ложность каждого высказывания, либо простого, либо сложного. В этом можно убедиться, используя стандартные определения семантики для логических связок (см. раздел 2.2.3.). Например, из атомарного события: «студент учится плохо по предмету СИИ»   «он пропустил много занятий по предмету СИИ» следует истинность высказывания «студент учится плохо по предмету СИИ» и ложность высказывания «студент учится плохо по предмету СИИ» «он пропустил много занятий по предмету СИИ»

• Любое высказывание логически эквивалентно дизъюнкции всех атомарных событий, из которых следует истинность этого высказывания Например, высказывание «студент учится плохо по предмету СИИ» эквивалентно дизъюнкции атомарных событий: «студент учится плохо по предмету СИИ»  «он пропустил много занятий по предмету СИИ» и «студент учится плохо по предметуСИИ»   «он пропустил много занятий по предмету СИИ»