2. Аксиомы вероятностей

До сих пор в этом разделе был определен синтаксис для высказываний, а также для априорных и условных вероятностных утверждений об этих высказываниях. Теперь необходимо определить своего рода семантику для вероятностных утверждений. Начнем с базовых аксиом, которые служат для определения шкалы вероятностей и её конечных точек, как описано ниже.

1. Все вероятности находятся в пределах от о до 1; для любого высказывания а справедливо следующее:

0 Р(а) 1

2. Безусловно истинные (т.е. выполнимые) высказывания имеют вероятность 1, а безусловно ложные (т.е. невыполнимые) высказывания имеют вероятность 0:

Р(истина) = 1 Р(ложь) = 0

3. Кроме того, требуется аксиома, которая соединяет вероятности логически взаимосвязанных высказываний. Такую аксиому можно проще всего составить, определив вероятность дизъюнкции, как показано ниже.

Вероятность дизъюнкции задается следующей формулой:

Р(а b) = Р(а) + Р(b) - Р(а b)

Это правило можно легко запомнить, отметив, что те случаи, когда высказывание а является истинным, вместе с теми случаями, когда b является истинным, безусловно, охватывают все те случаи, когда истинно высказывание а b; но в сумме множеств случаи их пересечения встречается дважды, поэтому необходимо вычесть Р(а b).

Эти три аксиомы часто называют аксиомами Колмогорова в честь советского математика Андрея Колмогорова, который показал, как по-строить остальную часть теории вероятностей на этом простом фунда-менте. Из этих основных аксиом можно вывести целый ряд полезных фактов. Например, знакомое правило отрицания следует из подстановки а, а вместо b в аксиому 3 приводит к получению следующего выражения:

Р(а а) = Р(а) + Р( а) - Р(а  а) (согласно аксиоме 3 b = а)

Р(истина) = Р(а) + Р( а) - Р(ложь) (согласно правилу логической эквивалентности)

1=Р(а)+Р( а) согласно аксиоме 2

Р( а) = 1 - Р(а) (согласно алгебраическому определению)

Третья строка этого логического вывода сама является полезным фактом и может быть распространена с данного булева случая на общий дискретный случай. Допустим, что дискретная переменная D имеет область определения <d₁,..., d_n>. Тогда можно легко показать, что справедлива следующая формула:

_n

 Р( D = d_i )=1

^{i= 1}

Это означает, что любое вероятностное распределение по одной переменной должно в сумме составлять 1. Справедливо также утверждение, что любое совместное распределение вероятностей по любому множеству переменных должно в сумме составлять 1; в этом можно убедиться, создав одну мегапеременную, областью определения которой является перекрестное произведение областей определения первоначальных переменных.

Напомним, что любое высказывание а эквивалентно дизъюнкции всех атомарных событий, в которых а является истинным; назовем эту дизъюнкцию множеством событий (а). Напомним также, что атомарные события являются взаимно исключающими, поэтому вероятность любой конъюнкции атомарных событий равна нулю, согласно аксиоме 2. Таким образом, из аксиомы З можно вывести следующее простое соотношение: вероятность любого высказывания равна сумме вероятностей атомарных событий, в которых оно является истинным; т.е. вывести такое уравнение:

Р(а) =  Р( _i )=1 (2)

_i (а)

Это уравнение предоставляет простой метод вычисления вероятности любого высказывания при наличии полного совместного распределения, которое задает вероятности всех атомарных событий.