Задача №9
Тело
массой
кг
начинает движение в трубке
,
расположенной в вертикальной плоскости,
с начальной скоростью
2,2
м/с под действием силы тяжести и силы
кН
(рис.13).
Длина
участка
0,7м.
Трением на участке
пренебречь. На участке
на тело кроме силы тяжести действует
сила трения скольжения. Коэффициент
трения f
= 0,68. Сила
.
О
пределить
скорость тела в точке
,
время движения тела на участке
и
длину участка
,
предполагая, что
.
Решение. Сначала рассмотрим движение тела на участке . Направим ось x вдоль и составим дифференциальное уравнение движения тела на этом участке:
,
где
вес
тела,
10
м/с2.
Преобразуем ускорение к виду:
.
Вычислим
sin45o
=20Н–
2кг∙10м/с2∙0,707=
=
–5,86 Н.
Имеем при
скорость
;
при
.
Разделяя переменные, интегрируем
дифференциальное уравнение:
.
Отсюда
.
Скорость
тела в точке
:
0,859
м/с.
Теперь
рассмотрим движение тела на участке
.
Направим ось
от точки
в сторону движения тела. На тело
действуют силы:
.
Реакцию трубки
найдём из уравнения равновесия:
30о
= 0,
30о
= 2 кг
∙ 10 м/с2
∙ 0,866 = =
17,32Н.
По закону Кулона сила трения
17,32
Н
∙ 0,68 =
= 11,78 Н.
В
начальном положении тела (в точке
)
время
0,
координата
(0)
= 0, скорость
(0)
=
.
В конечном положении тела (в точке
)
время
,
координата
и по условию задачи скорость
.
Согласно второму закону динамики составим дифференциальное уравнение движения тела (материальной точки) в проекции на ось :
.
Правая часть уравнения: 2 кг ∙ 10 м/с2 ∙ 0,5 –
– 11,78
Н
= – 1,78 Н.
Перенесём
в правую часть и интегрируем:
,
2(
или
.
Заменив
на
=
0 и
на
,
найдём время движения тела на участке
:
0,859/0,89
= 0,965 с.
Скорость тела
выразим через первую производную от
координаты
:
.
Перенесём в правую часть и интегрируем
.
Отсюда
=
0,415 м.
Ответ:
0,859
м/с,
0,965
с,
0,415
м.
Задача №10
Тело
весом
18
Н
скользит без трения под действием силы
тяжести по кольцу радиуса
0,45
м,
расположенным в вертикальной плоскости
(рис.14). В начальный момент времени тело
находится в положении
(
60о)
и имеет скорость
6
м/с.
Считая тело материальной точкой, определить:
скорость и ускорение тела в положении (
225о);импульс действующих сил за время перемещения тела из положения в положение .
Р
ешение.
На тело действуют сила тяжести
и нормальная реакция кольца
.
Определим скорость
тела в положении
.
Применим теорему об изменении кинетической
энергии материальной точки:
.
Работа силы
на перемещении
равна нулю, работа силы тяжести
.
Масса тела
18
/ 10 = 1,8 кг.
Вертикальное перемещение тела
0,45 м (0,5
+ 0,707) = 0,543 м.
Тогда получим 1,8 (
36)
/2 = 18∙0,543. Отсюда находим скорость тела
в положении
:
6,85
м/с.
Определим
ускорение тела в положении
.
Оно состоит из суммы векторов касательного
и нормального ускорений:
.
Модуль нормального ускорения определяется
по формуле
(6,85
м/с)2
/ 0,45 м
= 104 м/с2.
Вектор нормального ускорения направлен
к центру кольца. Для определения
касательного ускорения применим теорему
об изменении момента количества движения
точки
относительно
центра
в алгебраической форме:
.
Момент
количества движения точки
;
момент силы тяжести
;
момент нормальной ре-акции
,
т.к. линия действия силы
пересекает точку
.
Тогда
.
Отсюда получим величину касательного
ускорения
.
Определим касательное ускорение в точке
:
225о
= 10 м/с2∙(–0,707)
= –7,07 м/с2.
Обратим внимание, что в интервале 0< <180о тело движется ускоренно ( > 0), а в интервале 180о< <360о тело движется замедленно ( < 0). Модуль ускорения точки в положении :
м/с2.
Определим импульс действующих на тело сил за время перемещения его из положения в положение . Для этого воспользуемся теоремой об изменении количества движения точки:
,
(1)
где
вектор количества движения тела в
положении
;
вектор количества
движения тела в положении
;
вектор
импульса сил за время
движения тела по кольцу из точки
в точку
.
Проектируем векторное уравнение (1) на оси (см. рис.14):
cos45o
cos60o)
= – 1,8 кг
(6,85 м/с
∙ 0,707 + 6 м/с
∙ 0,5) =
= – 14,1 Н∙с – проекция вектора импульса сил на ось x;
sin45o–(–
sin60o))
= 1,8 кг
(6,85 м/с
∙ 0,707 + 6 м/с
∙ 0,866) =
= 18,1 Н∙с – проекция вектора импульса сил на ось y.
Модуль
импульса сил:
22,9
Н∙с.
Ответ:
6,85
м/с;
104,2
м/с2;
22,9
Н∙с.