С хемы к задаче д-3
Указания к решению задач д-3
Задача
Д-3.0.
Задача
решается с помощью теоремы об изменении
кинетического момента механической
системы относительно точки
:
.
Кинетический момент системы состоит
из кинетического момента барабана и
кинетического момента груза
.
Кинетический момент
вычисляется по формуле кинетического
момента вращающегося твёрдого тела, а
– по формуле кинетического момента
точки (груз
принимаем за материальную точку). По
ходу решения задачи получаем угловое
ускорение
const,
т.е. барабан вращается равноускоренно.
Тогда угол поворота
,
измеряемый в радианах. Число оборотов
определяется по формуле
.
Задача
Д-3.1.
Задача
решается в два этапа. На первом этапе
следует применить теорему об изменении
количества движения системы
в проекции на ось
.
Проекция количества движения системы
на
ось
складывается из проекций количеств
движения грузов. Количество движения
барабана равно нулю, т.к. центр тяжести
барабана находится в покое. Проекции
внешних сил складываются из сил тяжести
грузов, барабана и реакции опоры.
На
втором этапе для определения ускорения
грузов применяется теорема об изменении
кинетического момента системы относительно
точки
:
.
Задача
Д-3.2. На
систему действуют силы тяжести
,
вращающий момент
и реакции опоры
.
Реакции опоры можно не определять, если
применить теорему об изменении
кинетического момента относительно
оси, проходящей через центр
:
.
Интегрируя это дифференциальное
уравнение, получим
.
С другой стороны кинетический момент
данной системы равняется
.
Определив постоянную интегрирования
при
по начальной скорости
,
можно найти угловую скорость при
с.
Задача
Д-3.3.
Рекомендуется
применить теорему об изменении количества
движения механической системы в проекции
на ось
,
где за ось
принята прямая, по которой движется
балка
.
При определении главного вектора
количеств движения на ось
необходимо учесть, что скорость тележки
состоит из переносной скорости балки
и относительной скорости тележки,
определяемой по уравнению
.
Внешними силами являются силы трения
между балкой и опорами.
Задача
Д-3.4.
На систему
действуют
внешние силы:
силы
тяжести стержня и груза;
реакции
опор в точках
и
;
вращающий
момент. Чтобы не учитывать реакции опор,
рекомендуется применить теорему об
изменении кинетического момента системы
относительно оси вращения:
.
Далее действовать по схеме, рекомендованной
в задаче
Д-3.2.
Моменты
инерции стержня и материальной точки
определяются по известным формулам.
Задача Д-3.5. См. указания к задаче Д-3.4.
Задача
Д-3.6.
Ход решения
задачи совпадает с Д-3.5.
Здесь следует учесть, что момент инерции
диска относительно оси вращения
определяется формулой Гюйгенса-Штейнера:
.
Момент инерции груза
,
если груз находится в точке
.
Естественно, что
.
Задачи
Д-3.7–Д-3.9.
На механическую систему действуют
внешние силы:
силы
тяжести плиты и груза;
реакция
горизонтальных направляющих, численно
равная давлению плиты на эти направляющие.
Сумма проекций всех сил на ось
равна нулю. Тогда проекция главного
вектора количеств движения на ось
постоянна:
.
Здесь
,
а проекция абсолютной скорости груза
на ось
складывается из переносной скорости
плиты
и
проекции на ось
относительной скорости груза, определяемой
по заданному закону
.
Необходимо найти
в момент времени
и в произвольный момент времени
.
Так как
постоянна,
то приравнивая правые части полученных
выражений, найдем скорость плиты
как функцию времени. Дифференцируя это
уравнение, получим ускорение
плиты. Интегрируя это уравнение, найдем
закон движения плиты
.
По начальному условию
определяем постоянную интегрирования
.
Подставляя в полученные уравнения
с,
найдем искомые величины.
Для
определения силы нормального давления
плиты
на направляющие следует применить
теорему об изменении количества движения
механической системы в проекции на ось
(см. указания к задаче
Д-3.1) или
применить теорему о движении центра
масс системы (см. пример решения задачи
№12).