Задача №3

Н а прямоугольный параллелепипед (рис.6) действует система сил ( , , , ).

Определить главный вектор и главный момент системы сил относительно точки О.

Дано: АО = 50 см.; АВ = 100 см.; АЕ = 70 см.;

P₁ = 40 Н; P₂ = 60 Н; P₃ = 80 Н; P₄ = 100 Н.

Решение.

1. Определим главный вектор .

.

Из ∆ BCK: sin  = BC / BK; BC = AO = 50 см.; KC = AE = 70 см.;

= 86 см.; sin  = 0,5814; cos  = 0,814;

cos15 = 0,966; sin15 = 0,259; sin60 = 0,866.

= P₁ sin  + P₃ sin60 – P₄ cos15 = – 4,05 Н;

= – P₂ cos15 – P₃ cos60 + P₄ sin15 = – 72,1 H;

= – P₁ cos  + P₂ sin15 = – 17,0 H;

  = = 74,2 H.

Направляющие косинусы главного вектора :

cos ( )= /  = – 0,0546; cos ( ) = /  = – 0,972;

cos ( ) = /  = – 0,0135.

Знак “–” означает, что образует с положительными направлениями осей координат тупые углы.

Главный вектор приложен в точке О, его модуль

  = 74,2 H.

2. Определим главный момент .

=  ( ) .

( ) + ( ) + ( ) + ( ) = – P₁ cos  OC +

+ P₂  AB sin15 + P₃ cos60 DO – P₄ sin15 DO =

= – 715 Hсм = – 7,15 Hм;

( ) + ( ) + ( ) + ( ) = P₁ KC sin  –

– P₂ sin15 AO + P₃ sin60 DO – P₄ cos15 DO =

= – 1060 Hсм = – 10,6 Hм;

( ) + ( ) + ( ) + ( ) = – P₁ sin  OC –

– P₂ cos15 AO – P₃ sin60 OC + P₄ sin15 AO =

= – 10900 Hсм = – 109 Hм;

  = = 110 Hм.

Направляющие косинусы :

cos ( ) = /  = – 0,0654;

cos ( ) = /  = – 0,0969;

cos ( ) = /  = – 0,993.

Знак “–” означает, что образует с положительными направлениями осей координат тупые углы.

Главный момент приложен в точке О, его модуль

  = 110 Hм.

Задача №4

Горизонтальная прямоугольная плита весом Р (рис.7) закреплена сферическим шарниром в точке А, цилиндрическим шарниром (подшипником) в точке В и невесомым стержнем DK. На плиту в плоскости, параллельной , действует сила , а в плоскости, параллельной – пара сил с моментом .

Д ано: Р = 3 кН; F = 8 кН; М = 4 кНм;  = 60; CDK = 30;

АС = 0,8 м; АВ = 1,2 м; ВЕ = 0,4 м; ЕН = 0,4 м.

Определить реакции опор А, В и стержня DK.

Решение. Рассмотрим равновесие плиты. На плиту действуют заданные силы , и пара сил с моментом М, а также реакции связей , , , , , . Здесь , , – составляющие реакции сферического шарнира на оси координат; , – составляющие реакции цилиндрического шарнира (подшипника) на оси координат; – реакция стержня DK.

Уравнения равновесия для плиты, находящейся под действием произвольной пространственной системы сил:

 F_kx = 0, X_A + X_B + F cos60 = 0;

 F_ky = 0, Y_A – N cos30 =0;

 F_kz = 0, Z_A + Z_B – P + N sin30 – F sin60 = 0;

 m_x ( ) = 0, M – P AB/2 + Z_B AB – Fsin60AB + Nsin30AB = 0;

 m_y ( ) = 0, P AC/2 – Nsin30AC + Fsin60HE – F cos60 BE = 0;

 m_z ( ) = 0, – F cos60 AB – N cos30AC – X_B  AB = 0

Подставив в полученные уравнения числовые значения всех заданных величин и решив эти уравнения, найдем искомые реакции.

X_A = 3,4 кН; Y_A = 5,1 кН;

Z_A = 4,8 кН; X_B = – 7,4 кН;

Z_B = 2,1 кН; N = 5,9 кН

Знак “ – ” указывает на то, что реакция X_B направлена противоположно реакции, показанной на рис. 7.