Задача №5

Точка движется в плоскости по закону: (см), (см). Найти уравнение траектории. В момент времени 1с определить скорость точки, ускорение и их составляющие на координатные и естественные оси, а также радиус кривизны траектории для соответствующего момента времени.

Решение.

1. Найдём уравнение траектории.

Для этого из уравнений движения исключаем параметр . Второе уравнение запишем в виде и найдём разность . Это и есть уравнение траектории (уравнение прямой). Следовательно, движение точки прямолинейное. Так как время изменяется в интервале < ∞, то координаты точки изменяются в интервалах 2 см > – ∞, 3 см > – ∞. Начальное положение точки при определяется координатами = 2 см; = 3 см; (2;3). Для момента времени 1с 2 − 3 − 6 = − 7 см; 3 − 1,5 − 3 =

= 1,5 см; (–7;–1,5). Прямую строим по двум точкам: и (рис.8).

2. Определим скорость точки.

Сначала найдём проекции скорости на оси :

;

.

В момент времени 1с: см/с, = –7,5 см/с. Модуль скорости 16,77 см/с.

Н а рис.8 от точки проведём оси , и на них отложим , , по которым построим вектор скорости, направленный по касательной к траектории. В случае прямолинейного движения точки вектор скорости направлен вдоль траектории.

3. Определим ускорение точки.

Проекции ускорения на оси :

12 см/с², 6 см/с².

Модуль ускорения точки 13,42 см/с².

На рис.6 от точки проведём оси , и отложим на них , . Вектор ускорения построим по составляющим , .

Обратим внимание, что единицы измерений координат , проекций скорости , и ускорения , отличаются. Поэтому при построении траектории, векторов скорости и ускорения могут быть назначены разные единицы масштаба.

4. Определим составляющие ускорения на касательную и главную нормаль. Найдём радиус кривизны траектории.

Направим вдоль вектора скорости касательную, а перпендикулярно касательной – главную нормаль. На эти оси спроектируем конец вектора ускорения. Таким образом, вектор ускорения раскладывается на касательную и нормальную составляющие: , а модуль ускорения равен .

Касательное ускорение вычисляется по формуле:

. Тогда можно определить нормальное ускорение . Радиус кривизны траектории .

В случае прямолинейного движения точки и, следовательно, , . Радиус кривизны траектории .

Ответ: уравнение траектории: ; 15 см/с, 7,5 см/с , 16,77 см/с; 12 см/с², 6 см/с², =13,42 см/с², ; . Поскольку > 0, то движение точки будет ускоренным – на рисунке векторы скорости и касательного ускорения имеют одинаковые направления. Касательное ускорение точки постоянное (не зависит от времени), следовательно, движение точки будет равноускоренным.

Задача №6

Г руз 1 (рис.9) движется поступательно и прямолинейно по закону 7+16 +215 (см). Радиусы колеса 30 см и ступеней шкива 2 100 см, 60 см.

Определить скорость и ускорение точки , лежащей на ободе колеса 3, в моменты времени 1с, 2с.

Решение. Скорость груза 1: 16+430 см/с. Все точки, лежащие на окружности радиуса шкива 2, имеют скорости, равные скорости груза 1: . Точка движется по окружности. Её скорость . Отсюда угловая скорость шкива будет с^-1. Все точки ремня имеют одинаковые скорости, поэтому =16+430 (см/с). Скорость точки , движущейся по окружности радиуса , равна . Отсюда угловая скорость колеса с^-1. Угловое ускорение колеса 3 будет 14,33 с^-2. Вектор ускорения точки : . Касательное ускорение направлено по касательной к траектории (вдоль обода колеса 3) и равно 430 см/c². Оно не зависит от времени и положительно, следовательно, колесо 3 вращается равноускоренно. Нормальное ускорение направлено к оси вращения и равно 30 см/с². Модуль ускорения точки : .

Определим искомые величины.

При =1 с: 16+430∙1 = 446 см/с = 4,46 м/с; 4,3м/с², 66,3 м/с², 66,4 м/с². При =2с:

16+430∙2 = 876 см/с = 8,76 м/с; 4,3 м/с²,

255,8 м/с², 256 м/с².

Итак, ускорение точки переменное и существенно возрастает с увеличением .