Глава 3. Элементы аналитической геометрии

Предметом аналитической геометрии является изучение гео- метрических фигур и их свойств при помощи действий с чис -лами и наборами чисел, однозначно определяющих геометри -ческие фигуры.

§ 1. Прямая линия на плоскости

УРАВНЕНИЕ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ. Рассмотрим равенство , где - переменные величины, принимающие различные действительные значения, - некоторое выражение (композиция известных функций) со- держащее . Если равенство выполняется для всех значений , то оно называется тождеством. Если же равенство выплоняется не для всех пара чисел , то оно называется уравнением линии на плоскости. Простейшим уравнением линии на плоскости яв- ляется уравнение прямой.

Из школьного курса известно уравнение прямой с угловым коэффициентом: , где , . (1)

Если мы знаем угол наклона прямой к оси , т.е. если задан угловой коэффициент этой прямой и задана фиксированная точка на прямой , то, чтобы напи- сать уравнение прямой, удобно воспользоваться формулой:

(2)

Уравнение (1) получится из уравнения (2), если раскрыть скобки и привести подобные.

Например: Написать уравнение прямой, проходящей через точку под углом к оси .

Угловой коэффициент тогда, по фор- муле (2), прямая имеет уравнение:: , или

Рассмотрим произвольную прямую на плоскости. Пусть - фиксированная, а текущая точки дан -ной прямой.

Если заданы векторы , перпендикулярный прямой (нормаль или нормальный вектор), или , парал -лельный данной прямой (направляющий вектор), то, исполь- зуя условия ортогональности и коллинеарности, можем напи -сать уравнения прямой следующим образом:

; следовательно, , или

(3)

; следовательно координаты этих векторов пропор- циональны и получаем:

. (4)

В частности, если на прямой заданы две точки и , то вектор являет- ся направляющим вектором прямой и её уравнение принимает вид:

(5)

Уравнение прямой по двум заданным точкам.

Пример 1 Написать уравнение прямой, проходящей через точку а) перпендикулярно вектору ; б) парал – лельно вектору , если ; с) написать уравнение прямой, проходящей через точки и .

. Тогда в случае а) и, по формуле (3), уравнение имеет вид: или ; в случае б) получим уравнение: , по формуле (4), или ; в случае с), по формуле (5), получаем уравнение: , или , . Таким образом получаем:

Если в равенстве (3) откроем скобки, то получим общее уравнение прямой на плоскости:

(6)

является нормальным вектором данной прямой.

Если известны длины отрезков, которые прямая отсекает на осях координат,

то уравнение этой прямой можно записать следующим об -разом:

(7)