§ 3. Нелинейные операции над векторами.

Нелинейными операциями являются операции умножения векторов.

1. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т.е.

(1)

Так как , , то получаем:

= (2)

Отсюда получаем формулы для вычисления проекций:

; . (3)

Также, учитывая формулу (1),

. (4)

Скалярное произведение векторов имеет простой механи – ческий смысл : Скалярное произведение равно работе силы по перемещению материальной точки из начала в конец вектора .

Легко доказать следующие свойства скалярного произ –ведения:

1. = (коммутативность);

2. =

3. (дистрибутивность);

4. тогда ;

5. Условие ортогональности векторов:

,

так как .

Эти свойства позволяют выполнить следующие задания:

1). Пусть ; угол между этими векторами . Найти длину вектора .

По свойству 4,

2). Пусть ; угол между этими векторами . Найти .

По формуле (3), . В данных условиях,

Тогда .

Пусть теперь векторы заданы своими координатами:

в базисе . При вы- числении скалярного произведения базисных векторов получим: , по свойству 4. Аналогично Так как векторы ортогональны, т.е. попарно перпендику –лярны, то, по свойству 5, Тогда

Таким образом, скалярное произведение векторов, заданных координатами, равно сумме произведений соответствующих координат:

(5)

Тогда векторы ортогональны если

Угол между векторами и можно найти по формуле:

= . (6)

Рассмотрим ещё несколько примеров:

1. Даны векторы . При

каком значении эти векторы перпендикулярны ?

. , так как векторы перпендикулярны. Тогда или

2. Треугольник задан своими вершинами: А(2, -1, 3),

В(1, 1, 1), С(0, 0, 5). Найти углы треугольника АВС.

, тогда по формуле (6),

Следовательно .

тогда по той же формуле,

и угол . Тогда .

3. Проверить, что четырёхугольник с вершинами: является квадратом.

Следовательно, противоположные стороны параллельны и оп- ределяются одинаковыми векторами. Тогда данный четы- рёхугольник является параллелограммом. Найдём длины смеж- ных сторон: . Т.е. все стороны равны. Параллелограмм с равными сторонами является ромбом. Чтобы доказать, что ромб является квадратом, достаточно доказать перпендикулярность хотя бы двух смежных сторон. Найдём скалярное произведение:

Выполнено условие ортогональности векторов и , сле- довательно , и тогда рассматриваемый четы- рёхугольник является квадратом.

2. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

Векторным произведением вектора на вектор называ- ется вектор, обозначаемый , или , который опреде- ляется тремя условиями:

1. Вектор перпендикулярен векторам и , т.е. :

2. Длина вектора - :

3. Векторы образуют «правую тройку».

Векторы образуют правую

тройку, если они имеют общее на-

чало и из конца вектора крат -

чайший поворот вектора к век –

тору виден против часовой

стрелки.

Механический смысл векторного произведения: вектор- ное произведение равно моменту силы , при -ложенной к концу вектора относительно начала век -тора .

Свойства векторного произведения.

1. ;

Если поменяем местами векторы , то тройка

векторов поменяет ориентацию (станет левой)

и вектор сменит направление на противополож-

ное.

2. Если векторы имеют одно и то же начало, то

модуль (длина) векторного произведения численно ра –

вен площади параллелограмма, построенного на век –

торах (произведение длин сторон на синус угла

между ними). Таким образом:

площадь параллелограмма , а

площадь треугольника

3. Если векторы коллинеарны, то их векторное произведение равно 0, т.е. . Это ещё одно ус- ловие коллинеарности векторов. (если векторы колли –неарны, т.е. параллельны, то и, по условию 1) определения, вектор имеет нулевую длину).

В частности, для любого вектора.

4. (Постоянный множитель можно выносить за скобку).

5. . (Можно раскрывать скобки.)

Рассмотрим пример: найти площадь параллелограмма, по -строенного на векторах , которые заданы следующим образом: , если и угол между векторами равен .

По свойству 2, . Найдём:

. Тогда

При решении примера мы использовали свойства вектор- ного произведения. По свойству 3, , по свой- ству 1, .

Пусть теперь векторы заданы своими координатами:

(7)

где базисные векторы имеют единичную длину, вза -имно перпендикулярны и образуют правую тройку. Тогда для них выполняются следующие правила векторного умножения :

О

Найдём векторное произведение векторов и , используя эти правила, умножив векторы, заданные формулой (7), как скобку на скобку.

Но последнее выражение задаёт разложение по первой строке следующего определителя, т.е.

. (8)

Пример. Найти площадь треугольника с вершинами (1, 1, 1),

(2, 3, 4) и (4, 3, 2) и его высоту, опущенную из вершины .

.

Найдём векторное произведение:

Тогда

Высоту треугольника можем найти следующим образом:

3. СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

Для трёх векторов можно ввести смешанное произведение, при котором два вектора перемножаются векторно и получен- ный в результате вектор скалярно умножается на третий век- тор, в результате чего получается число.

Смешанное произведение векторов обозначается:

Любая циклическая перестановка не меняет смешанное произ- ведение: . Остальные перестановки меняют знак произведения на противоположный.

ТЕОРЕМА. Смешанное произведение векторов равно

где - объём параллелепипеда, построенного на векторах .

В самом деле, рассмотрим рисунок

Тогда , если учесть, что - площадь параллело- грамма, построенного на векторах , а - высота, построенного параллелепипеда, то

Если векторы образуют левую тройку, то вектор направлен в противоположную сторону, угол тупой и , и . Если векторы компла -нарны, то и смешанное произведение равно 0.

Условие компланарности векторов:

(9)

Если векторы не компланарны, т.е. , то они образуют базис, т.е. любой вектор пространства можно представить в виде их линейной комбинации.

Если векторы заданы своими координатами: , то, как в случае скалярного и векторного произведения, можно показать, что:

. (10)

Учитывая теорему, можно найти объём параллелепипеда, построенного на векторах , по формуле:

,

а объём треугольной пирамиды, построенной на тех же векторах:

(11)

высоту параллелепипеда или пирамиды можно найти по фор- муле:

. (12)

Рассмотрим примеры:

1. Найти объём треугольной пирамиды с вершинами

в точках

и найти её высоту, опущенную на грань .

Найдём координаты трёх векторов, выходящих из одной точки, на которых строится пирамида: .

Тогда:

Таким образом, по формуле (11), объём пирамиды равен:

Чтобы найти высоту пирамиды, найдём векторное произве- дение:

Отсюда .

Тогда, по формуле (12)

2. Проверить, что точки

лежат в одной плоскости.

Если данные точки лежат в одной плоскости,

С

то векторы компланарны. Найдём координаты этих векторов:

Векторы компланарны, если их смешанное произведение рав- но нулю, т.е. должно быть выполнено равенство:

.

Найдём это смешанное произведение по формуле (10):

Смешанное произведение равно нулю. Следовательно, точки лежат в одной плоскости.

3. Поверить, что векторы образуют базис и найти разложение вектора в этом базисе:

Если векторы образуют базис, то их смешанное произведе- ние . В нашем случае:

следовательно, векторы образуют базис

Тогда представляет собой разложение вектора в этом базисе. Найдём коэффициенты этого разло- жжения, для чего запишем соответствующее векторное равен -ство:

.

Учитывая правила действий с векторами, получим систему:

Решим данную систему линейных уравнений методом Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы и получим нули ниже главной диагонали.

Умножим первую строку на (-2) и прибавим к второй строке и просто прибавим её к третьей строке. Получим:

Умножим третью строку на ( 3) и прибавим к второй, после че- го разделим вторую строку на (3), а третью на (2) и поменя -ем их местами:

.

Получили систему:

Таким образом: Тогда