§ 4 Системы линейных алгебраических уравнений
Системой линейных алгебраических уравнений с урав –нений с неизвестными называется система вида:
(1)
Уравнения
данной системы являются линейными,
так как все неизвестные величины
входят в уравнения толь- ко в первой
степени, и алгебраическими, так как
получены с применением конечного
числа алгебраических операций сло-
жения и умножения на число.
Решением
системы
(1) называется некоторый набор чисел
,
при подстановке которых вместо
неизвестных
во все уравнения системы (1) получаем
тож- дественные равенства.
Это определение позволяет разделить системы вида (1) на два класса: системы, имеющие хотя бы одно решение, назы -ваются совместными, а системы, не имеющие ни одного ре -шения, называются несовместными. Совместные системы, име- ющие единственное решение, называются определёнными, а имеющие более одного решения (на самом деле, имеющие бесконечное число решений), называются неопределёнными.
Кроме
того среди систем вида (1) выделяют
так называ –емые однородные,
т.е. системы, в которых все правые
части равны нулю:
.
Рассмотрим теперь методы, позволяющие находить реше -ния системы (1), если они существуют.
Сначала рассмотрим системы, у которых число уравнений равно числу неизвестных, т.е. системы вида:
(2)
МАТРИЧНЫЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ.
Обозначим через:
,
матрицу коэффициентов, столбец неизвестных и столбец пра -вых частей, соответственно. Тогда систему (2), учитывая пра -вила действия с матрицами, можем записать в более компакт- ной форме:
.
(3)
Если определитель матрицы не равен нулю, т.е. матри -ца невырожденная, то данная матрица имеет обратную мат- рицу . Умножим обе части равенства (3) на :
,
а
так как
(по определению обратной матрицы), а
,
то
.
(4)
Эта формула даёт метод решения системы (2) средствами матричного исчисления, или просто матричный способ реше- ния системы (2).
Рассмотрим пример решения системы матричным способом.
Пусть дана система линейных уравнений:
Для данной системы
Найдём обратную матрицу по известной формуле. Сначала найдём
После этого вычислим алгебраические дополнения всех эле- ментов матрицы .
Следовательно,
.
Тогда, по формуле (4), решение системы имеет вид:
=
.
Таким
образом
Сделаем про -верку, т.е. подставим
полученное решение в систему:
При подстановке получили тождественные равенства, следова- тельно, в самом деле получили решение системы.
2, ФОРМУЛЫ КРАМЕРА РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
Ограничимся случаем системы трёх уравнений с тремя не -известными. В случае систем более высокого порядка пользо- ваться этими формулами очень трудоёмко.
Пусть дана система
главный определитель которой
.
Умножим уравнения этой системы на соответствующие алгебраические дополнения элементов первого столбца основной матрицы данной системы, т.е.
и сложим полученные уравнения. Получим
По
свойству 9 определителей, первая
скобка равна
,
по свойству 11, вторая и третья скобки
равны нулю, а, по свойству 10, правая
часть равна определителю матрицы, в
ко– торой первый столбец заменён
столбцом правых частей систе- мы, т.е.
.
Получаем
.
Аналогично, умножая уравнения систе
-мы на алгебраические дополнения
второго и третьего столбца,
соответственно, получим уравнения:
и
,
где
и
.
Отсюда получаются формулы Крамера :
.
(5)
Таким образом, данный способ решения системы 3 – го сводится к вычислению четырёх определителей. В принципе этот метод можно применять и для произвольных систем с одинаковым числом уравнений и неизвестных с невырожден- ными матрицами коэффициентов, но вычисление определи -телей более высокого порядка, чем три, довольно громоздко.
Рассмотрим пример: решить систему по формулам Крамера.
Главный определитель этой системы:
Найдём остальные определители:
Тогда
получаем решение:
Подставив эти значения в уравнения системы вместо неиз -вестных, получим тождественные равенства.
И матричный способ решения систем, и формула Крамера позволяют решать системы, у которых число уравнений равно числу неизвестных с невырожденными матрицами коэффициен- тов. Следующий метод применим для произвольных систем.
МЕТОД ГАУССА (МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ
ИСКЛЮЧЕНИЙ)
Рассмотрим произвольную систему (1) линейных уравнений:
Две системы вида (1) называются эквивалентными, если любое решение одной из них является решение другой и нао- борот, или в случае, если обе системы несовместны.
Следующие преобразования систем, которые приводят к эквивалентным системам, называются элементарными, а иногда просто эквивалентными преобразованиями.
Можно поменять местами любые два уравнения сис –темы.
Можно умножить каждое слагаемое уравнения на одно и то же число, отличное от нуля.
Можно сложить любые два уравнения, а результат сложения записать вместо одного из уравнений.
Сущность
метода Гаусса
заключается в последовательном
исключении неизвестных из уравнений
системы. Сначала из первого уравнения
выражаем
и подставляем во все ос –тальные
уравнения. После этого из полученного
второго уравнения выражаем
и подставляем во все следующие
уравнения и так далее.
Все преобразования такого рода удобно выполнять, вос – пользовавшись так называемой расширенной матрицей сис – темы:
.
Матрица, расположенная слева от вертикальной черты, назы -вается основной, а вся матрица расширенной (здесь справа от черты стоят элементы правой части системы). Элементар- ные преобразования уравнений системы равносильны эквива - лентным преобразованиями строк расширенной матрицы сис –темы:
Можно поменять местами любые две строки матрицы
.Любую строку матрицы можно умножить на любое отличное от нуля число.
Любую сроку матрицы можно прибавить к любой другой строке.
Чаще всего преобразования 2 и 3 заменяют следующим: