Глава 2. Элементы векторной алгебры

§ 1. Вектор. Алгебраические действия с

ВЕКТОРАМИ.

Различают понятия величин, которые характеризуются од -ним числом - скалярные величины (например: масса, объём, длина, площадь и т.д.) и величин, для которых имеет значе -ние не только их численное значение, но и направление их действия - векторных величин (например: сила, скорость, ус - корение и т.д.).

Вектором называется направленный отрезок , где - начало вектора, - конец вектора.

В физике важное значение имеет точка приложения вектора, т.е. начальная точка . Векторы в математике чаще всего не связывают с точкой приложения, поэтому часто геометрический вектор обозначается . Чтобы объяснить это, введём сначала несколько понятий. Длина вектора обозначается или . Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым. Его длина равна нулю. Считается, что его направление совпадает с направлением любого вектора, и он обозначается .

Векторы, лежащие на одной прямой, или на параллельных прямых, называются коллинеарными.

Векторы, лежащие в одной плоскости, или в параллельных плоскостях, называются компланарными.

Векторы называются равными, если они коллинеарны, име- ют одинаковую длину и одинаково направлены.

Из этого определения следует, что векторы равны, если их можно совместить с помощью параллельного переноса. Равен-ство векторов не зависит от их начальных точек (точек прило- жения); таким образом, начальную точку любого вектора с помощью параллельного переноса можно совместить с любой точкой плоскости или пространства. В этом смысле геометри- ческие векторы называются свободными.

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ

1. Сложение векторов. Суммой двух векторов и называется вектор , идущий из начала вектора в конец вектора .

Это определение называется правилом треугольника сложе - ния векторов. Другое определение суммы векторов называется правилом параллелограмма: вектор суммы векторов направлен по диагонали параллелограмма, построенного на векторах и , т.е

2. Умножение вектора на число. При умножении вектора на число получаем вектор , коллинеарный данному вектору, длина которого изменяется в раз, причём на- правление вектора сохраняется, если и меняется на противоположное, если .