§ 3. Плоскость в пространстве.

Можно усмотреть аналогию между понятиями прямой на плоскости и плоскостью в пространстве. Основой этой анало- гии является известный факт, что через заданную точку плос- кости можно провести единственную прямую, перпендикулярно заданному вектору, а через заданную точку пространства мож- но провести единственную плоскость, перпендикулярную задан- ному вектору. Следует заметить также, что размерность пря – мой равна 1, размерность плоскости - 2, размерность прост -ранства - 3, т.е. прямая в плоскости и плоскость в пространс- тве имеют одинаковую коразмерность. Линейное пространство размерности на единицу меньшей, чем размерность пространс- тва, частью которого оно является, называется гиперплоскос -тью. В соответствии с этим определением, прямая - это ги -перплоскость на плоскости, а плоскость - это гиперплоскость в пространстве.

Пусть плоскость проходит через точку фиксированную точку пространства перпендикулярно вектору Пусть - произвольная (текущая) точка данной плоскости.

Тогда уравнение плоскости получаем, используя условие ортогональности (перпендикулярности) вектора и вектора , т.е. Таким образом,

(1)

Если в данном равенстве раскроем скобки, то получим общее уравнение плоскости:

(2)

где

Пример 1. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , где .

В данном случае Фиксированная точка - это точка и уравнение плоскости принимает вид:

или

Таким образом, чтобы написать уравнение плоскости необ – ходимо знать какую– нибудь точку на плоскости и вектор, пер- пендикулярный плоскости.

Часто встречается следующая задача: написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

Пусть заданы три фиксированные точки плоскости: , а - текущая точка плоскости. Тогда векторы и компланарны.

Следовательно, смешанное произведение этих векторов равно нулю:

, или

(3)

Расстояние от точки до плоскости можно найти по формуле (аналогичной формуле расстояния от точки до прямой на плоскости):

(4)

Пример 2. Дана треугольная пирамида с вершинами

.

Написать уравнение плоскости и найти высоту, опущен- ную на эту плоскость из точки

По формуле (3) уравнение плоскости имеет вид:

тогда

Получаем: т.е. плоскость имеет уравнение: Высоту пира -миды, опущенную из точки можно найти как расстояние от этой точки до плоскости , по формуле (4).

Используя условие компланарности векторов, можно анало -гичным образом написать уравнение плоскости, проходящей че- рез фиксированную точку пространства парал -лельно двум заданным векторам:

, .

В этом случае: векторы компланарны и их смешанное произведение равно нулю: т.е.

(5)

Пример 3. Написать уравнение плоскости , проходящей через точку перпендикулярно плоскостям:

.

, тогда, по формуле (5), уравнение плос -кости имеет вид: Получаем: , или, окончательно, получаем уравнение плоскости

Пусть даны две плоскости

Угол между плоскостями равен углу между их нормаль –

ными векторами :

(6)

Условие параллельности плоскостей:

(7)

Условие перпендикулярности плоскостей:

. (8)

Если , то уравнения задают одну и ту же плоскомть.

Пример 4. Найти угол между плоскостями и

. Тогда, по формуле (6),