§ 6. Линии второго порядка на плоскости.

Общее уравнение линии 2 – го порядка на плоскости имеет вид:

(1)

Для анализа этого уравнения нам понадобится понятие пре- образования координат на плоскости.

1. Параллельный перенос: пусть - старые координа- ты, а - новые координаты, полученные переносом на- чала координат из точки в точку .

Для произвольной точки получим

(2) и (3)

(2) - это формулы перехода от старых координат к новым, (3) - формулы обратного перехода. Параллельный позволяет убрать в уравнении (1) линейные слагаемые (т.е. слагаемые ).

2. Поворот осей координат на угол .

Из построения видно, что

Таким образом, получены формулы перехода от старых коор -динат к новым:

(4)

Аналогичным образом можно получить формулы обратного перехода от новых координат к старым при повороте системы координат:

(5)

С помощью поворота системы координат избавляются от произведения в уравнении (1).

После преобразования уравнения (1) с помощью переноса и поворота системы координат, можем получить следующие уравнения: , или

Рассмотрим сначала уравнение :

1. Если , то имеем уравнение эллиптического типа, причём, в случае , уравнение определяет эллипс (или окружность при ; если же , то уравнение определяет мнимый эллипс ( или мнимую окружность); если , то данное определение задаёт точку.

2. Если , то имеем уравнение гиперболического ти- па, при этом, если , уравнение определяет гипербо- лу, если - сопряжённую гиперболу, если , то уравнение определяет две скрещивающиеся прямые.

Уравнения вида параболического типа. Определяют либо параболы, направленные или по оси , или по оси , либо две параллелельные прямые (если , то прямые параллельны оси ; если - то прямые параллельны оси ).

Рассмотрим теперь основные линии 2 – го порядка.

1. Окружность - это геометрическое место точек равноу-

далённых от данной точки, называемой её центром. Не име- ет смысла подробно останавливаться на рассмотрении этой линии, так как её уравнения хорошо известны из школьного курса математики: - окружность с центром в начале координат, или смещённая окружность с центром в точке : .

2. Эллипс. Эллипсом называется геометрическое место то-

чек, для которых сумма расстояний до двух заданных точек, называемых фокусами, величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Введём систему координат следующим образом: пусть ось проходит через фокусы данной линии, а ось делит отрезок пополам и перпендикулярна оси .

фокусы, расстояние между ними , Тогда, по определению, Запишем данное равенство, используя формулу расстояния между точками:

Правую и левую часть равенства возведём в квадрат и раскроем скобки:

После преобразования имеем Возводя полученное равенство в квадрат, получаем:

или .

По определению, . Тогда существует единственное число , такое что . Получаем: . Окончательно, равенство:

(6) определяет каноническое уравнение эллипса.

Ввиду того, что переменные входят в уравнение во второй степени, эта линия симметрична относительно осей ко- ординат. Следовательно, достаточно построить график в первой четверти ( ) и симмет- рично отобразить его в другие координатные плоскости. Оче- видно, что , . Построим линию:

Величины и называются большой и малой полуоями эллипса, при этом расстояние от начала координат до фокусов равно . Величина называется эксцентриситетом и характеризует вытянутость эллипса. Для эллипса . В случае , эллипс превращается в окружность.

Может оказаться, что , и тогда большая полуось - это . В этом случае, , эксцентриситет и, так как фокусы всегда находятся на больших полуосях, то они имеют следующие координаты: . Получаем следующий рисунок.

Оптическое свойство эллипса. Если источник света поме-щён в один из фокусов эллипса, то отражённый луч попадает в другой фокус.

Рассмотрим пример. привести уравнение линии к каноничес- кому виду и построить эту линию: .

Сгруппируем переменные и выделим полные квадраты:

Получили каноническое уравнение эллипса в смещённой сис- теме координат , начало отсчёта кото –рой имеет координаты: : . Полуоси этого эллипса: .

Тогда её эксцентриситет . Построим линию.

3

O 2 x

-6 6

-3

3. Гипербола. Гиперболой называется геометрическое мес- то точек, для которых модуль разности расстояний до двух точек, называемых фокусами, величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

По определению, . Тогда

Возведём это равенство в квадрат:

Раскроем скобки и изолируем корень:

Возведём в квадрат полученное равенство и раскроем скобки:

. Но, по определению гипер- болы, и получается:

. Разделив это равенство на правую часть, получаем каноническое уравнение гиперболы:

. (7)

Ввиду того, что переменные входят в уравнение во второй степени, эта линия симметрична относительно осей ко- ординат и относительно начала координат. Следавательно, достаточно построить график в первой чет- верти ( ) и симметрично отобразить его в другие координатные плоскости. Из данного уравнения видим, что оно имеет смысл только в случае, если . возрастает по мере увеличения и причём график линии по мере увели- чения приближается к прямой , не пересекая эту прямую. Эта прямая является асимптотой данной линии.

В виду симметрии, гипербола имеет две асимптоты: . Построим гиперболу:

Асимптоты гиперболы - это прямые, проходящие через диаго -нали основного прямоугольника со сторонами, раными и , соответственно.

В уравнении (7), называется действительной полуосью ги- перболы, - мнимой полуосью. В результате преобразований уравнения второго порядка мы можем получить также уравне- ние следующего вида:

(8)

О но задаёт уравнение сопряжённой гиперболы, которая выгля- дит следующим образом:

Для сопряжённой гиперболы - мнимая полуось, - действительная полуось. Сопряжённая гипербола имеет те же асимптоты . Как для случая гиперболы, так и для случая сопряжённой гиперболы, полуфокусное расстояние равно :

. Для случая гиперболы, фокусы имеют коорди –наты: , для случая сопряжённой гиперболы:

, т.е. всегда находятся на действительной оси. Эксцентриситет гиперболы равен , а сопряжённой гиперболы - , но в в обоих случаях .

Эксцентриситет гиперболы (сопряжённой гиперболы опре -деляет форму основного прямоугольника.

Рассмотрим пример. Привести уравнение к каноническому виду и построить линию:

Сгруппируем переменные и выделим полные квадраты:

Разделим полученное равенство на 36:

Получили уравнение гиперболы с центром симметрии, смещён- ным в точку . Для данной гиперболы , . Эксцентриситет гиперболы равен . Её асимптоты имеют уравнения

Построим эту линию

-1

-2

Для эллипса и гиперболы, заданных соответствующими ка- ноническими уравнениями:

м ожно задать уравнения прямых, которые называются ди -ректрисами, с помощью уравнений (для случая эллипса с большей полуосью и для случая сопряжённой гиперболы уравнения директрис имеют вид: ).

В случае эллипса:

Для гиперболы:

Основное свойство директрис : если - рас -стояние до ближайшего фокуса, а - расстояние до соот -ветствующей директрисы , то .

Таким образом, с помощью основного свойства директрис, эллипс и гиперболу можно определить, как множества точек, для которых отношение расстояний до фокуса и до соответс- твующей директрисы - величина постоянная, равная эксцент- риситету , причём для эллипса , а для гиперболы . В случае получаем ещё одну линию - параболу.

4. Парабола. Параболой называется геомнтрическое место точек плоскости, равноудадённых от данной точки, называемой фокусом и данной прямой, называемой директрисой.

Введём на плоскости систему координат: ось проходит через фокус перпендикулярно директрисе. Ось перпендику- лярна оси и проходит на одинаковом расстоянии между от фокуса и директрисы. Пусть расстояние от фокуса до ди –ректрисы равно

По определению параболы, расстояние от фокуса до точки равно длине отрезка . Тогда . Возведём в квадрат это равен- ство: . Таким образом, полу- чаем каноническое уравнение параболы:

(9)

Построим эту линию. Она симметрична относительно оси (так как входит в уравнение в чётной степени).

Точка является вершиной параболы, ось - ось её сим- метрии. Кроме параболы , можем рассмотреть ещё параболы и , которые вы – глядят, соответственно, следующим образом:

Рассмотрим пример. Привести к каноническому виду уравне- ние следующей линии и построить её:

Преобразуем это уравнение:

В ершина параболы находится в точке . . Построим эту линию.

.

Оптическое свойство параболы: Если источник света рас -положен в фокусе параболы, то отражённый луч распространя- ется по прямой

Мы рассмотрели основные линии второго порядка.

Рассмотрим теперь пример полного преобразования уравне- ния линии 2 – го порядка с помощью параллельного переноса и поворота системы координат.

Привести к каконическому виду уравнение линии. Выпол- нить построение линии:

Выполним параллельный перенос системы координат по формулам (2): . Получим:

С помощью параллельного переноса мы должны избавиться от линейных слагаемых в уравнении, т.е. приравниваем нулю:

Эти равенства должны выполняться для всех , т.е. получаем систему:

Тогда: или

Таким образом, перенос системы координат необходимо произвести в точку . При этом получим уравнение:

Чтобы избавиться от смешанного произведения , выпол- ним поворот системы координат по формулам (4):

Нам необходимо убрать смешанное произведение, поэтому группируем соответствующие коэффициенты и приравниваем их к нулю:

Учитывая тригонометрические формулы, получаем:

.

Перепишем уравнение линии, с учётом того, что смешанного произведения в уравнении не осталось:

или, и тогда: и, окончательно,

Получили каноническое уравнение эллипса с полуосями

. Построим данную линию:

1

1

Рассмотрим ещё примеры: Пример 1. Построить следующую линию:

Из уравнения видим, что должно быть выполнено: . Возведём равенство в квадрат: . Тогда Получено уравнение окружности с центром в точке радиуса 4.

С учётом условия , мы получаем нижнюю часть окруж –ности.

Пример 2. Построить линию:

. Ограничение: Возведём последнее равенство в квадрат . Это урав- нение параболы с вершиной в точке . . Построим линию:

2

-1

Ввиду условия , выбираем правую ветку параболы.