Примеры решения задач

Пример 1.Определение параметров уравнения регрессии.

Рассчитайте параметры линейного уравнения парной регрессии, которое будет характеризовать зависимость между недельным розничным товарооборотом (л.е.), и проведите анализ параметров регрессии по данным таблицы.

Доходы населения	18	20	21	22	24	25	27	28	29	31
Розничный товарооборот	17	18	19	20	21	23	24	25	26	27

Сделайте вывод.

Решение.

Очевидно, что в данной задаче факторным признаком (х) будут наделены доходжы населения на одного человека по соответствующим группам, а результативным признаком (y) - розничный товарооборот.

Линейное уравнение парной регрессии, которое позволяет установить теоретическую зависимость Y по фактическим данным таблицы, записывается в виде Y = a_{0 +} a₁x ,

где a₀ и a_{1 –} параметры теоретической зависимости, которые необходимо рассчитать.

Для определения параметров составляем таблицу.

№ п/п	x	y	x2	xy	Y
1	18	17	324	306	16,67
2	20	18	400	360	18,31
3	21	19	441	399	19,31
4	22	20	484	440	19,95
5	24	21	576	504	21,59
6	25	23	625	575	22,41
7	27	24	729	648	24,05
8	28	25	784	700	24,87
9	29	26	841	754	25,69
10	31	27	061	837	27,33
Всего	245	220	6165	5523	=
В среднем	24,5	22,0	616,5	552,3	=

Получим расчетные параметры с использованием метода наименьших квадратов. Для этого запишем систему нормальных уравнений в виде:

n a₀ + a₁∑x = ∑y

a₀∑x + a₁∑x² = ∑xy

Подставив в эту систему значения ∑x, ∑y, ∑x², ∑xy,

В ычисленные по данным таблицы, получим систему уравнений:

10 a₀ + 245а₁ = 220

245 a₀ + 6165 a₁ = 5523

Решив эту систему найдем значение параметров:

a₀ = (220 . 6165 – 5523 . 245) / (10 . 245 – 245 . 245) = 1,91

a₁ = (10 . 5523 – 245 . 220) / (10 . 6165 – 245 . 245) = 9,82;

или a₁ = (552,3 – 24,5 . 22,0) / (616,5 – (24,5)² ) = 0,82

a₀ = 22,0 – 0,82 . 24,5 = 1,91

Следовательно, теоретическая зависимость розничного товарооборота от доходов населения имеет вид:

Y = 1,91 + 0,82х

Сделаем экономические выводы.

Параметр a₁ = 0,82 характеризует предельный размер расходов на покупку товаров в розничной торговле. То есть, когда доход увеличивается на единицу, объем розничного товарооборота возрастает на 0,82 д.е.

Пример 2. Определение коэффициента ассоциации и коэффициента контингенции

В одном из отделений Сбербанка России исследовалась связь между наличием вклада и семейным положением потенциальных вкладчиков на 1.01.2002 Результаты обследования характеризуются следующими данными

семейное положение	число вкладчиков	из них
		имеющие сбережения	не имеющие сбережения
одинокие	400	250	150
семейные	1250	800	450
Итого	1650	1050	600

Ка = (250х450 – 150х800) / (250х450 + 150х800) =(112500-120000) / (112500 +150800) = -750/232500 = -0,03

Связь существует, если Ка ≥0,5

Кк = (250х450 – 150х800) / √ (250+150)(150+450)(450+800)(800+250) = (112500-120000) / √400х600х1250х1050 = -7500 / 561248,7 = - 0,01

Связь существует, если Кк≥0,3

Таким образом, наличие или отсутствие сбережений в обследуемом отделении Сбербанка России не зависит от семейного положения потенциальных вкладчиков.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Корреляционная связь — изменение среднего значения результатив­ного признака, которое обусловливается изменением факторных приз­наков.

Корреляционное отношение показывает связь между двумя призна­ками.

Корреляция - статистическая зависимость между случайными вели­чинами, которая не имеет строго функционального характера, но измене­ние одной из случайных величин приводит к изменению математическо­го ожидания другой.

Коэффициент детерминации показывает, на сколько процентов ва­риация результативного признака объясняется вариацией j'-го признака (частный) или всех вошедших в модель факторных признаков (множе­ственный).

Коэффициент регрессии показывает, на сколько в среднем изме­няется значение результативного признака при изменении факторного на единицу собственного измерения.

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов в среднем изменится значение результативного признака при изменении факторного признака на 1%.

Линейная связь - статистическая связь между явлениями, выражен­ная уравнением прямой линии.

Линейный коэффициент корреляции определяет тесноту и направ­ление связи между двумя коррелируемыми признаками.

Нелинейная связь - статистическая связь между социально-эконо­мическими явлениями, аналитически выраженная уравнением кривой линии (параболы, гиперболы и т. д.).

Обратная связь - с увеличением или уменьшением значений фак­торного признака уменьшается или увеличивается значение результатив­ного.

Парная регрессия - аналитическое выражение связи двух признаков.

Прямая связь - с увеличением или уменьшением значений факторно­го признака увеличивается или уменьшается значение результативного.

Ранг - порядковый номер значения признака, расположенного в по­рядке возрастания или убывания величин.

Ранжирование - процедура упорядочения объектов изучения, кото­рая выполняется на основе предпочтения значений признака в порядке возрастания или убывания.

Регрессионный анализ - аналитическое выражение связи, в кото­ром изменение одной величины - результативного признака - обусловле­но влиянием одной или нескольких независимых величин (факторов), а множество всех прочих факторов, также оказывающих влияние на зави­симую величину, принимается за постоянные и средние значения.

Результативный признак - признак, изменяющийся под действием факторных признаков.

Стохастическая связь - связь, которая проявляется не в каждом от­дельном случае, а в общем, среднем при большом числе наблюдений.

Факторный признак - признак, оказывающий влияние на измене­ние результативного признака.

Функциональная связь - связь, при которой определенному значе­нию факторного признака соответствует одно и только одно значение ре­зультативного признака.

Вопросы для самоконтроля

1. Дайте определение функциональной, стохастической и корреляционной связи.

2. Дайте определение факторного и результативного признаков.

3. Что означает прямая и обратная связь между признаками?

4. Что показывает коэффициент эластичности?

5. Какие коэффициенты используются для изучения связи качественных признаков?

6. Какие задачи решаются с помощью корреляционно-peгpeccионного анализа?

7. В чем сущность метода наименьших квадратов?

8. В каких пределах изменяется парный (линейный) коэффициент корреляции? Что он показывает?

9. В каких пределах изменяется частный коэффициент регрессии? Что он показывает?

10. Какой экономический смысл несут свободный член уравнения регрессии и коэффициенты линейного регрессионного уравнения?

11. Линейный коэффициент корреляции может принимать значения …

а) от –1 до +1; б) от –1 до 0; в) от –0,5 до +0,5; г). от 0 до 1.

12. Какое значение коэффициента корреляции показывает наиболее тесную связь?

а) -0,981; б) -0,957; в) 0,971; г) 0,972

13. Коэффициент эластичности показывает …

а) среднее изменение результативного признака при изменении факторного признака на 1%;

б) долю вариации результативного признака под влиянием вариации признака-фактора;

в) направленность корреляционной связи между двумя варьирующими признаками;

г) тесноту связи между двумя варьирующими признаками.

14. Для определения параметров уравнения регрессии можно применять метод

а) наименьших квадратов; в) скользящей средней;

б) основного массива; г) параллельных рядов.