1.1.5. Общее дифференциальное уравнение теплопроводности

Для определения количества переданной теплоты необходимо знать коэффициент теплопроводности материала и значение температурного гра-диента, а следовательно, и распределение температур. Последнее относи-тельно просто можно определить только для тел простой конфигурации – пластины, цилиндра, шара, куба и параллелепипеда. В общем же случае это распределение устанавливается лишь в результате решения специального дифференциального уравнения теплопроводности. Для облегчения вывода дифференциального уравнения примем следующие допущения:

- тело однородно и изотропно;

- физические параметры вещества постоянны;

- деформация рассматриваемого объема, связанная с изменением тем-пературы, является очень малой величиной по сравнению с самим объемом;

- макроскопические частицы тела неподвижны относительно друг друга;

- внутренние источники теплоты в теле распределены равномерно.

Это уравнение выводится на основании закона сохранения энергии, сочетаемого с законом Фурье.

С целью установления зависимости между величинами, характе-ризующими рассматриваемый процесс, воспользуемся методом матема-тической физики, который исходит из того, что выбирается ограниченный промежуток времени, и из всего пространства рассматривается лишь элемен-тарный объем. Это позволяет в пределах элементарного объема и выбран-ного малого отрезка времени пренебречь изменением некоторых величин, характеризующих процесс, и существенно упростить зависимость.

Согласно закону сохранения энергии количество теплоты , выде-ленное внутренними источниками, за вычетом количества теплоты , вытекшего сквозь поверхность наружу, идет на приращение внутренней энергии вещества в выделенном объеме:

- . (1.9)

Для нахождения составляющих уравнения (1.9)выделим в теле элементарный параллелепипед со сторонами (рис.1.3). Парал-лелепипед располагается так, чтобы его грани были параллельны соот-ветствующим координатным плоскостям. Если объемную мощность тепловыделения, т.е. количество теплоты на единицу объема вещества за единицу времени обозначить через , Вт/м³, то за время получим:

= . (1.10)

Для вычисления рассмотрим вначале направление, определяемое осью . Согласно формуле (1.8) в этом направлении через левую грань поступает внутрь выделенного объема количество теплоты:

= .

Рис.1.3.К выводу дифференциального уравнения теплопроводности

Через противоположную грань за тот же промежуток времени из объема вытекает количество теплоты:

= =

= .

Результативное количество вытекающей теплоты составит:

- = .

Полное количество вытекающей из параллелепипеда теплоты во всех трех направлениях равно:

= . (1.11)

Приращение внутренней энергии вычисляется через теплоемкость и приращение температуры:

. (1.12)

Здесь в Дж/(кг ^оС), а в кг/м³.

Подставив выражения (1.10), (1.11) и (1.12) в (1.9) и произведя сокращения, получим:

= + . (1.13)

Дифференциальное уравнение (1.13) является основой аналитической теории теплопроводности, созданной Фурье в первом десятилетии 19 века.

Для обозначения суммы вторых производных по координатам можно использовать символ , так называемый лапласин. Тогда уравнение (1.13) записывается в виде:

= + .

Введем в рассмотрение новую физическую характеристику вещества – коэффициент температуропроводности , м²/с, определяемый из выражения:

.

Он существен для нестационарных тепловых процессов и характе-ризует скорость изменения температуры. Если коэффициент тепло-проводности определяет способность тел проводить теплоту, то коэффи-циент температуропроводности является мерой теплоинерционных свойств тела. Скорость изменения температуры в любой точке тела будет тем боль-ше, чем больше коэффициент температуропроводности. При прочих равных условиях выравнивание температур происходит быстрее в том теле, которое обладает большим коэффициентом температуропроводности.

Уравнению (1.13) можно придать вид:

= . (1.14)

Физический смысл уравнения Фурье, являющимся частным случаем закона сохранения энергии, заключается в том, что им связывается прост-ранственное распределение температуры с изменением ее во времени. Зная вблизи той или иной точки тела зависимость температуры от координат, можно предсказать, как быстро будет возрастать (или спадать) температура в этой точке при переходе к следующему моменту времени. Наиболее простое соотношение получается тогда, когда =0, т.е. когда внутреннее тепловыде-ление отсутствует. При этом, чем больше коэффициент , тем пропорцио-нально быстрее меняется во времени температура.

Применительно к пространственным задачам стационарной теплопро-водности и при =0 уравнение Фурье получает вид:

; =0.

Это уравнение принадлежит к категории уравнений Лапласа.

В цилиндрических координатах уравнение (1.14) записывается следующим образом:

= , (1.15)

где - радиус вектора; полярный угол; аппликата.