1.2.Стационарная теплопроводность

1.2.1.Теплопроводность плоской стенки при граничных условиях первого рода

Постановка задачи. Имеется однородная изотропная стенка толщиной с постоянным коэффициентом теплопроводности (рис.1.5). Заданы граничные условия первого рода, т.е. температуры на внутренней и наружной поверхностях стенки: при при По осям и размеры стенки бесконечно большие (более чем на порядок превосходят размер стенки по оси ). При таких условиях температура в стенке будет изменяться лишь в направлении оси . Требуется найти закон распределения температуры по толщине стенки и получить выражения для определения плотности теплового потока ( ) и теплового потока ( ).

Рис.1.5.Однородная плоская стенка

Для нахождения закона распределения температуры по толщине стенки воспользуемся дифференциальным уравнением теплопроводности (1.14), учитывая, что , так как задача стационарная, и (температура по осям и не изменяется). При этих условиях уравнение (1.14) упрощается:

или , (1.24)

так как в этом случае частные и полные производные совпадают. Решая уравнение (1.24), получаем

(1.25)

где постоянные интегрирования находятся из граничных условий: при при Подставляя последовательно эти условия в (1.25), находим постоянные интегрирования и получаем закон распределения температуры по толщине плоской стенки:

(1.26)

Выражение (1.26) показывает, что температура по толщине стенки изменяется по линейному закону.

Плотность теплового потока определяется по уравнению (1.8). Градиент температуры находится из уравнения (1.26): Подставляя это выражение в (1.8), получаем формулы для плотности теплового потока ( ) и теплового потока ( ):

(1.27)

(1.28)

В случае плоской многослойной стенки (рис.1.6) с идеальным контактом между соприкасающимися слоями (граничные условия четвертого рода) количество теплоты, которое пройдет теплопроводностью через первый слой, будет равно теплоте, прошедшей через каждый последующий слой. Записывая формулу (1.27) для каждого из слоев стенки, а затем выражая разность температур и суммируя их

получаем

Рис.1.6.Многослойная плоская стенка

Отсюда

(1.29)

где , (м^2оС)/Вт, называется термическим сопротивлением теплопро-водности, от значения которого зависит величина градиента (перепада) температуры в слое.

Решая дифференциальное уравнение теплопроводности в цилиндри-ческих координатах вида

(1.30)

при соответствующих граничных условиях можно получить выражения для теплового потока и линейной плотности теплового потока

(1.31)

(1.32)

Здесь и - соответственно внутренний и наружный радиусы и диаметры цилиндра, м.

Для многослойной цилиндрической стенки линейную плотность теплового потока можно определить с помощью выражения:

(1.33)

где называется термическим сопротивлением -го слоя цилиндри-ческой стенки.

1.2.2. Теплопроводность плоской стенки при граничных условиях третьего рода (теплопередача через плоскую стенку)

Постановка задачи. Пусть одна из сторон плоской стенки (рис.1.7) омывается жидкостью (газом) с температурой = и коэффициентом теплоотдачи , а другая - жидкостью (газом) с температурой = ( > ) и коэффициентом теплоотдачи . Коэффициент теплопро-водности материала стенки . Требуется найти плотность теплового потока, передаваемого от одной жидкости к другой через разделяющую их стенку.

Плотность теплового потока от жидкости с температурой к стенке согласно уравнению (1.20) найдется как - . Этот же тепловой поток пройдет через стенку путем теплопроводности согласно (1.27), а дальше эта теплота будет обдана жидкости с температурой в процессе теплоотдачи - . Выражая из каждого уравнения разность температур и суммируя, чтобы неизвестные температуры и сократились

получаем

Рис.1.7.Теплопередача через плоскую однородную стенку

Откуда

(1.34)

Формулу (1.34) можно записать компактнее:

(1.35)

где - коэффициент теплопередачи, Вт/(м^{2 о}С), характеризует интенсивность передачи теплоты от одной жидкости к другой через разделяющую их стенку, а - термическое сопротивление теплопередачи,

(м^{2 о}С)/Вт, , а - термическое сопротивление теплоотдаче, (м^{2 о}С)/Вт.

Если рассматривается многослойная плоская стенка, состоящая из слоев, то ход решения задачи будет таким же, только вместо одного термического сопротивления теплопроводности будет Формула для расчета теплопередачи будет иметь вид:

, (1.36)

Формула для определения линейной плотности теплового потока, про-ходящего через цилиндрическую стенку, находится по той же схеме, что и для плоской стенки и имеет вид:

, (1.37)

где величину = , Вт/(м ^оС), называют линейным коэффи-циентом теплопередачи.

Для многослойной цилиндрической стенки, состоящей из слоев, получим:

, (1.38)