§ 3. Произведение и частное дробей

5. Умножение дробей. Возведение дроби в степень

Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и перемножить их знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе – знаменателем.

Чтобы возвести дробь в степень, надо возвести в эту степень числитель и знаменатель и первый результат записать в числителе, а второй – в знаменателе.

6. Деление дробей

Где a, b, c и d – некоторые многочлены, причем b, c и d – ненулевые многочлены. Это равенство выражает правило деления рациональных дробей: чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

7. Преобразование рациональных выражений

Рациональное выражение представляет собой частное от деления суммы рациональных дробей на многочлен. Деление на можно заменить умножением на дробь Поэтому преобразование данного выражения сводится к сложению дробей и умножению результата на дробь Вообще преобразование любого рационального выражения можно свести к сложению, вычитанию, умножению или делению рациональных дробей.

Из правил действий с дробями следует, что сумму, разность, произведение и частное рациональных дробей всегда можно представить в виде рациональной дроби. Значит, и всякое рациональное выражение можно представить в виде рациональной дроби.

§ 5. Арифметический квадратный корень

12. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень

Определение. Квадратным корнем из числа а называют число, квадрат которого равен 2.

Определение. Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а.

если выполняются два условия:

При выражение не имеет смысла.

При любом а, при котором выражение имеет смысл, верно равенство

16. Квадратный корень из произведения и дроби.

Сравним значения выражений

Мы видим, что Аналогичным свойством обладает корень из произведения любых двух неотрицательных чисел.

Теорема 1. Если то

● Каждое из выражений имеет смысл, так как Покажем, что выполняются два условия:

Так как выражения принимают лишь неотрицательные значения, то произведение неотрицательно.

Используя свойство степени произведения, получим

Мы показали, что 1 и 2 выполняются. Значит, по определению арифметического квадратного корня при любых неотрицательных значениях a и b верно равенство

○

Если то

Действительно,

Таким образом, арифметический квадратный корень обладает следующим свойством: корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей.

Теорема 2. Если то

Итак, справедливо еще одно свойство арифметического квадратного корня: корень из дроби, числитель которой неотрицательный, а знаменатель положителен, равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя.

17. Квадратный корень из степени

Найдем значение выражения при и при

В каждом из рассмотренных примеров корень из квадрата числа равен модулю этого числа:

Теорема. При любом значении х верно равенство

(1)

● Рассмотрим два случая: Если то по определению арифметического квадратного корня Если то поэтому Мы знаем, что если и если Значит, при любом х значение выражения совпадает со значением выражения ○

Равенство (1) является тождеством.

Пример. Упростим выражение

Так как при любом а, то

Итак,