20. Возведение в степень произведения и степени.
Выражение
является
степенью произведения множителей а
и b.
Значит,
Аналогичным свойством обладает любая натуральная степень произведения двух множителей.
Для любых а и b и произвольного натурального числа n
■ По определению степени
Сгруппировав отдельно множители а и множители b, получим
Воспользовавшись определением степени, находим
Следовательно,
□
Доказанное свойство степени произведения распространяется на степень произведения трех и более множителей.
Например:
Отсюда получаем правило: чтобы возвести в степень произведение достаточно возвести в эту степень каждый множитель и результаты перемножить.
Пример 1. Возведем произведение 2yz в пятую степень.
► Имеем
Выражение
есть
степень, основание которой само является
степенью. Это выражение можно представить
в виде степени с основанием а:
Для любого а и произвольных натуральных чисел m и n
■ По определению степени
Согласно основному свойству степени
Заменим
сумму
произведением
Тогда получим
Следовательно,
□
Из доказанного свойства степени следует правило: при возведении степени в степень основание оставляют тем же, а показатели перемножают.
Пример
1. Представим выражение
в виде степени с основанием а.
► Имеем
§ 8. Одночлены
21. Одночлен и его стандартный вид
Выражения
являются
произведениями чисел, переменных и их
степеней. Такие выражения называют
одночленами. Одночленами считают также
числа, переменные и их степени. Например,
выражения
одночлены.
Упростим
одночлен
воспользовавшись
переместительным и сочетательным
свойствами умножения:
Мы
представили одночлен
в
виде произведения числового множителя,
стоящего на первом месте, и степеней
различных переменных. Такой вид одночлена
называют стандартным
видом.
К одночленам стандартного вида относят
и такие одночлены, как
К стандартному виду можно привести любой одночлен.
Числовой
множитель одночлена, записанного в
стандартном виде, называют коэффициентом
одночлена. Например, коэффициент
одночлена
равен
В
одночлене
сумма
показателей степеней всех переменных
равна 6. Эту сумму называют степенью
одночлена
Степень одночлена
равна
7, степень одночлена
равна
5.
Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех входящих в него переменных. Если одночлен не содержит переменных и является числом, отличным от нуля, то степень этого одночлена считают равной нулю.
Число 0 является одночленом, степень которого не определена.
22. Умножение одночленов. Возведение одночлена в степень.
При умножении одночленов и возведении одночлена в степень используются правило умножения степеней с одинаковыми основаниями и правило возведения степени в степень. При этом получается одночлен, который обычно представляют в стандартном виде.
Пример
1. Перемножим одночлены
и
► Составим произведение этих одночленов. Перемножим их числовые множители и степени с одинаковыми основаниями. Получим
Пример
2. Возведем в третью степень одночлен
► Воспользуемся правилами возведения в степень произведения и степени:
