§ 13. Разность квадратов. Сумма и разность кубов

34. Умножение разности двух выражений на их сумму

Рассмотрим еще одну формулу сокращенного умножения. Умножим разность на сумму

Значит,

(1)

Тождество (1) позволяет сокращенно выполнять умножение разности любых двух выражений на их сумму: произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

Задача. Разъясните геометрический смысл формулы

35. Разложение разности квадратов на множители

В тождестве поменяем местами правую и левую части. Получим

Это тождество называют формулой разности квадратов. Её применяют для разложения на множители разности квадратов любых двух выражений: разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы.

36. Разложение на множители суммы и разности кубов

Для разложения на множители суммы кубов используется тождество

(1)

которое называют формулой суммы кубов.

Чтобы доказать тождество (1), умножим двучлен на на трехчлен :

Множитель в правой части формулы (1) напоминает трехчлен который равен квадрату разности a и b. Однако вместо удвоенного произведения a и b в нем стоит говорить просто их произведение. Трехчлен называют неполным квадратом разности a и b.

Итак, сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности.

Для разложения на множители разности кубов используется тождество

(2)

которое называют формулой разности кубов.

Чтобы доказать тождество (2), умножим двучлен на на трехчлен , который называют неполным квадр суммы a и b:

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы.

§ 14. Преобразование целых выражений

37. Преобразование целого выражения в многочлен

Выражения, составленные из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания и умножения, называют целыми выражениями (произведение одинаковых множителей в целом выражении может быть записано в виде степени). К целым относят и выражения, в которых, кроме действий сложения, вычитания и умножения, используется деление на число, отличное от нуля.

Многочлены и, в частности, одночлены являются целыми выражениями. Например, целые выражения.

Выражение не является целым, т.к. в нем используется деление на выражение с переменной.

Любое целое выражение можно представить в виде многочлена.

Пример. Представим в виде многочлена выражение

Значит, данное выражение тождественно равно многочлену

38. Применение различных способов для разложения на множители.

Для разложения многочленов на множители мы применяли вынесение общего множителя за скобки, группировку, формулы сокращенного умножения. Иногда удается разложить многочлен на множители, применив последовательно несколько способов. При этом начинать преобразование следует, если это возможно, с вынесения общего множителя за скобки.

Рассмотрим тождественные преобразования 8 класса на основе учебника по алгебре под редакцией С.А. Теляковского.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ГЛАВА I. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ

§ 1. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ И ИХ СВОЙСТВА

1. Рациональные выражения

2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей

§ 2. СУММА И РАЗНОСТЬ ДРОБЕЙ

3. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

§ 3. ПРОИЗВЕДЕНИЕ И ЧАСТНОЕ ДРОБЕЙ

5. Умножение дробей. Возведение дроби в степень

6. Деление дробей

7. Преобразование рациональных выражений

8. Функция у = k/x и её график

Для тех, кто хочет знать больше

9. Представление дроби в виде суммы дробей

Дополнительные упражнения к главе I

ГЛАВА II. КВАДРАТНЫЕ КОРНИ

§ 4. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

10. Рациональные числа

11. Иррациональные числа

§ 5. АРИФМЕТИЧЕСКИЙ КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ

12. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень

13. Уравнение х² = а

14. Нахождение приближённых значений квадратного корня

15. Функция и её график

§ 6. СВОЙСТВА АРИФМЕТИЧЕСКОГО КВАДРАТНОГО КОРНЯ

16. Квадратный корень из произведения и дроби

17. Квадратный корень из степени

§ 7. ПРИМЕНЕНИЕ СВОЙСТВ АРИФМЕТИЧЕСКОГОКВАДРАТНОГО КОРНЯ

18. Вынесение множителя за знак корня. Внесение множителя под знак корня

19. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни

Для тех, кто хочет знать больше

20. Преобразование двойных радикалов

Дополнительные упражнения к главе II

ГЛАВА III. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

§ 8. КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ

21. Неполные квадратные уравнения

22. Формула корней квадратного уравнения

23. Решение задач с помощью квадратных уравнений

24. Теорема Виета

§ 9. ДРОБНЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

25. Решение дробных рациональных уравнений

26. Решение задач с помощью рациональных уравнений

Для тех, кто хочет знать больше

27. Уравнения с параметром

Дополнительные упражнения к главе III

ГЛАВА IV. НЕРАВЕНСТВА

§ 10. ЧИСЛОВЫЕ НЕРАВЕНСТВА И ИХ СВОЙСТВА

28. Числовые неравенства

29. Свойства числовых неравенств

30. Сложение и умножение числовых неравенств

31. Погрешность и точность приближения

§ 11. НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ИХ СИСТЕМЫ

32. Пересечение и объединение множеств

33. Числовые промежутки

34. Решение неравенств с одной переменной

35. Решение систем неравенств с одной переменной

Для тех, кто хочет знать больше

36. Доказательство неравенств

Дополнительные упражнения к главе IV

ГЛАВА V. СТЕПЕНЬ С ЦЕЛЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ. ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИКИ

§ 12. СТЕПЕНЬ С ЦЕЛЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ И ЕЁ СВОЙСТВА

37. Определение степени с целым отрицательным показателем

38. Свойства степени с целым показателем

39. Стандартный вид числа

§ 13. ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИКИ

40. Сбор и группировка статистических данных

41. Наглядное представление статистической информации

Для тех, кто хочет знать больше

42. Функции и их свойства

43. Дисперсия и среднее квадратичное отклонение

Дополнительные упражнения к главе V

Задачи повышенной трудности

Исторические сведения

Сведения из курса алгебры 7 класса

Предметный указатель

Ответы

ГЛАВА I. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ

§ 1. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ И ИХ СВОЙСТВА