§ 11. Произведение многочленов

29. Умножение многочлена на многочлен

Умножим многочлен на многочлен Составим произведение этих многочленов:

Обозначим двучлен буквой х и преобразуем полученное произведение по правилу умножения одночлена на многочлен:

В выражение подставим вместо х многочлен и снова воспользуемся правилом умножения одночлена на многочлен.

Итак,

Произведение любых двух многочленов можно представить в виде многочлена.

Правило умножения многочлена на многочлен: чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.

Задача. Доказать геометрически равенство

30. Разложение многочлена на множители способом группировки

Пример. Разложить многочлен на множители

Этот способ разложения многочленов на множители, называют способом группировки.

Глава V. Формулы сокращённого умножения

§ 12. Квадрат суммы и квадрат разности

32. Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений

При умножении многочлена на многочлен каждый член одного многочлена умножают на каждый член другого. Однако в некоторых случаях умножение многочленов можно выполнить короче, воспользовавшись формулами сокращенного умножения.

Возведем в квадрат сумму Для этого представим выражение в виде произведения и выполним умножение:

Значит,

(1)

Тождество (1) называют формулой квадрата суммы. Эта формула позволяет проще выполнять возведение в квадрат суммы любых двух выражений: квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения.

Задача. Разъясните геометрический смысл тождества

Возведем в квадрат сумму Для этого представим выражение в виде произведения и выполним умножение:

Значит,

(2)

Тождество (2) называют формулой квадрата разности. Эта формула позволяет проще выполнять возведение в квадрат разности любых двух выражений: квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения.

Задача. Разъясните геометрический смысл тождества

Зная формулы квадрата суммы и квадрата разности, нетрудно вывести формулы куба суммы и куба разности.

Имеем

Следовательно,

(3)

Тождество (3) называют формулой куба суммы.

Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

Аналогично можно получить, что

(4)

Тождество (4) называют формулой куба разности.

Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

Заметим, что тождество (4) можно получить из тождества (3), если разность представить в виде суммы

33. Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности

Формулы квадрата суммы и квадрата разности находят применение не только для возведения в квадрат суммы и разности, но и для разложения на множители выражений вида и

Действительно, поменяв местами в этих формулах левую и правую части, получим