1. Числовые выражения

Решим задачу:

«Туристы в течение двух часов ехали на велосипедах по шоссе со скоростью 16 км/ч, а затем шли лесом еще 7 км. Какова длина всего маршрута?»

По шоссе туристы проехали км, а лесом прошли 7 км. Поэтому длина всего маршрута равна км, т.е. 39 км.

Решая задачу, мы получили числовое выражение

Числовые выражения составляются из чисел с помощью знаков действий и скобок.

Примеры числовых выражений:

Число, которое получается в результате выполнения действий в числовом выражении, называют значением выражения.

Найдем, например, значение выражения Для этого мы должны, соблюдая принятый порядок действий, выполнить сначала умножение и деление, а затем вычитание:

Число 67 – значение выражения

Если в выражении встречается деление на нуль, то это выражение не имеет числового значения, так как на нуль делить нельзя. О таких выражениях говорят, что они не имеют смысла.

Например, не имеют смысла такие выражения, как

Двигаясь со скоростью 60 км/ч, автомобиль за 2 ч пройдет 60∙2 км, за 3 ч – 60∙3 км, за 5 ч – 60∙5 км, за 5,5 ч – 60∙5,5 км. Вообще за t ч он пройдет 60t км. Изменяя значение t, мы можем с помо­щью выражения 60t находить путь, пройденный автомобилем за разные промежутки времени. Для этого достаточно вместо буквы t подставить ее значение и выполнить умножение. Букву t в выражении 60t называют пе­ременной, а само выражение 60t – выражением с переменной.

Приведем еще пример. Пусть длины сторон прямоугольника рав­ны а см и b см. Тогда его площадь равна ab см². Выражение ab содер­жит две переменные а и b. Оно показывает, как находить площадь пря­моугольника при различных значениях а и b. Например: если а = 8 и b=11, то ab = 8∙11 = 88;

если а = 25 и b = 4, то ab = 25∙4 = 100.

Если в выражение с переменными подставить вместо каждой переменной какое-либо ее значение, то получится числовое вы­ражение. Его значение называют значением выражения с пе­ременными при выбранных значениях переменных.

Так, число 88 есть значение выражения ab при а = 8 и b = 11, чис­ло 100 есть значение этого выражения при а = 25 и b = 4.

Рассмотрим выражение При любом b≠3 можно найти его значение. Например, если b= 13, то При b=3 значение этого выражения найти нельзя, так как в этом случае делитель b–3 равен нулю. Говорят, что при b≠3 выражение

имеет смысл, а при b = 3 оно не имеет смысла.

Некоторые выражения имеют смысл при всех значениях перемен­ных. Примерами могут служить выражения

Выражения с переменными используются для записи формул. Рассмотрим примеры.

Любое четное число т можно представить в виде произведения числа 2 и целого числа п, т. е.

т = 2n.

Если в эту формулу вместо п подставлять целые числа, то значе­ниями переменной т будут четные числа. Формулу т=2п называют формулой четного числа.

Формулу m = 2n + 1, где п – целое число, называют формулой не­четного числа.

Аналогично формуле четного числа можно записать формулу чис­ла, кратного любому другому натуральному числу.

Например, формулу числа, кратного 3, можно записать так: т=3п, где п – целое число.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИИ

Свойства действий над числами

Напомним основные свойства сложения и умножения чисел.

Переместительное свойство: для любых чисел а и b вер­ны равенства

a+b=b+a, ab = ba.

Сочетательное свойство: для любых чисел а, b и с верны равенства

(a+b)+c=a+(b+c), (ab)c = a(bc).

Распределительное свойство: для любых чисел а, b и с верно равенство

a(b+c)=ab+ac.

Из переместительного и сочетательного свойств сложения следует: в любой сумме можно как угодно переставлять слагаемые и произвольным образом объединять их в группы.

Из переместительного и сочетательного свойств умножения следует: в любом произведении можно как угодно переставлять множители и произвольным образом объединять их в группы.

Тождества. Тождественные преобразования выражений

Найдем значения выражений 3(х+у) и 3х + 3у при х = 5, у=4:

3(х + y) = 3(5 + 4) = 3 ∙ 9 = 27,

3x + 3y = 3∙5 + 3∙4 = 15 + 12 = 27.

Мы получили один и тот же результат. Из распределительного свойства следует, что вообще при любых значениях переменных значе­ния выражений 3(х + у) и 3х + 3у равны.

Рассмотрим теперь выражения 2х + у и 2ху. При x = 1, у = 2 они принимают равные значения:

2х + у = 2∙1 + 2 = 4,

2ху=2∙1∙2 = 4.

Однако можно указать такие значения х и у, при которых значения этих выражений не равны. Например, если х = 3, у = 4, то

2х + у = 2 ∙ 3 + 4 = 10,

2ху=2 ∙ 3 ∙ 4 = 24.

Определение. Два выражения, значения которых равны при любых значениях переменных, называются тождественно равными.

Выражения 3(х + у) и 3х + 3у являются тождественно равными, а выражения 2х+у и 2ху не являются тождественно равными.

Равенство 3(х + у) = 3х+3у верно при любых значениях х и у. Та­кие равенства называются тождествами.

Равенство, верное при любых значениях пе­ременных, называется тождеством¹.

Тождествами считают и верные числовые равенства.

С примерами тождеств вы уже встречались. Так, тождествами являются равенства, выражающие основные свойства действий над числами:

a + b = b + а, (a + b) + c = a + (b + c),

ab = ba, (ab)c = a(bc), a(b + c) = ab + ac.

Можно привести и другие примеры тождеств:

а + 0 = а, а+(– а) = 0, a–b = a + (–b),

а ∙ 1 = а, а ∙ (–b) = – ab, (–a)( –b) = ab.

Чтобы найти значение выражения xy – xz при заданных значени­ях х, у и z, надо выполнить три действия. Например, при х=2,3, у=0,8, z=0,2 получаем

ху – хz = 2,3∙0,8 – 2,3 ∙ 0,2 = 1,84 – 0,46 = 1,38.

Этот результат можно получить, выполнив лишь два действия, если воспользоваться выражением х(у–z), тождественно равным выраже­нию xy – xz:

x(y–z) = 2,3(0,8 – 0,2) = 2,3 ∙ 0,6 = 1,38.

Мы упростили вычисления, заменив выражение xy–xz тождест­венно равным выражением x(y–z).

Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражением, называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения.

Тождественные преобразования выражений с переменными выпол­няются на основе свойств действий над числами.

Тождественные преобразования выражений широко применяются при вычислении значений выражений и решении других задач. Неко­торые тождественные преобразования вам уже приходилось выполнять, например приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок. Напом­ним правила выполнения этих преобразований:

- чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэф­фициенты и результат умножить на общую буквенную часть;

- если перед скобками стоит знак «плюс», то скобки можно опу­стить, сохранив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки;

- если перед скобками стоит знак «минус», то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки.

Пример 1. Приведем подобные слагаемые в сумме 5х + 2х – 3х.

• Воспользуемся правилом приведения подобных слагаемых:

5х + 2х – 3х = (5 + 2 – 3)х = 4х.

Это преобразование основано на распределительном свойстве умно­жения.

Пример 2. Раскроем скобки в выражении 2а + (b– 3с).

• Применим правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «плюс»:

2а + (b–3с)= 2а + (b–3с).

Проведенное преобразование основано на сочетательном свойстве сложения.

Пример 3. Раскроем скобки в выражении а – (46 – с).

• Воспользуемся правилом раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «минус»:

а – (46 – с)= а – 46 + с.

Упражнения

85. Какие свойства действий позволяют утверждать, что тождественно равны выражения:

а) аb+16с и 16с + аb; в) ху + 3 и 3 + ху;

б) (a + 2)+х и а + (2+х); г) 5(b + с) и 5b + 5с?

86. Являются ли тождественно равными выражения:

а) (2а)(7b) и 14аb; в) х–у и у–х;

б) –2а+2а и 0; г) (х–у)² и (у–х)²?

87. Являются ли тождественно равными выражения:

а) 2+8bа и 8аb + 2; в) (а + b) ∙ 0 и а + b;

б) 2х+7 и 2(х+7); г) (а + b) ∙ 2 и 2а + 2b?

88. Какие свойства действий позволяют утверждать, что данное равен­ство является тождеством:

а) 12(а – 4)= 12а –48; б) (х–х)а=0?

89. Какое из данных равенств не является тождеством?

1. 6(х–у) = 6х–6у 3. 3а – 4 = а + (2а – 4)

2. 25(а – а) = 25 4. 0,3а ∙ 56 = 1,5аb